Ist die Formel logisch gültig? (Prädikatenlogik)

Wenn du meinst$\forall P(x) \rightarrow \exists P(y)$, dann gilt: da jedes Objekt im (nicht leeren!) Bereich Eigenschaft hat$P$, wird es natürlich mindestens eine Sache in der Domäne geben, die Eigentum hat$P$.

Aber wenn du wirklich gemeint hast, dass diese Formel so ist$P(x) \rightarrow \exists y P(y)$, dann ist diese Formel kein Satz, hat also keinen Wahrheitswert und ist daher auch nicht unbedingt wahr, was wir typischerweise mit „logisch gültig“ meinen.

Andererseits könnten wir eine „logisch gültige Formel“ als eine definieren, die von jedem Objekt der Domäne erfüllt wird, und dann ja, es wäre eine logisch gültige Formel, da jedes Objekt gegeben ist, wenn es eine Eigenschaft hat$P$, dann gibt es etwas mit Eigentum$P$, und wenn es kein Eigentum hat$P$, dann wäre der Antezedens des Bedingungssatzes falsch und somit der Bedingungssatz wahr (um genau zu sein, für jedes Objekt$d \in D$, und wo konstant$c$waren zu bezeichnen$d$unter der erweiterten Auslegung$I'$, der Satz$P(c) \rightarrow \exists y P(y)$stimmt immer). Was das auch bedeutet$\forall x(P(x) \rightarrow \exists y P(y))$ist logisch gültig im üblichen Sinn des Wortes.