Ist das eine richtige Übersetzung von ∃x(∅∈x)∃x(∅∈x)\exists x(\emptyset \in x) in L∈L∈\mathcal{L}_{\in}?

Ja, das ist richtig.

Ein universeller Quantor könnte auch verwendet werden (vorausgesetzt, wir arbeiten an einer Hintergrundtheorie, die stark genug ist, um zu beweisen, dass es genau eine Menge ohne Elemente gibt, was wir sein sollten, wenn wir das "$\emptyset$" Symbol an erster Stelle) :

$$\exists x\forall y[\forall z(z\not\in y)\rightarrow y\in x].$$

Einige Autoren bevorzugen möglicherweise die existentielle Version für$\emptyset$, siehe Kapitel 2 der Sprache dieser Mengenlehre$\mathcal{L}_{\in}$. Dann verwenden sie das Symbol frei als eine weitere Konstante in FOL, ansonsten ist es, wie Sie es erlebt haben, nicht ausdrucksstark und Sie mussten unabhängig vom technischen Weg 3 gemischte Quantifizierer verwenden, um nur Ihre Aussage auszudrücken, dass die (einzigartige) leere Menge ein Mitglied ist von jedem Satz. Die Schlüsselidee für eine ausdrucksstarke Syntax besteht darin, wenn möglich Konstanten- und Funktionsterme anstelle von Relationen zu nutzen.

Wir lassen x =$\emptyset$kürze ¬∃y(y$\in$X)

Dies ist genau das Äquivalent erster Ordnung mit Ihrer Formulierung pro DeMorgan

sei y =$\emptyset$abkürzen$\forall z(z \notin y)$

Bitte beachten Sie, dass es einen subtilen Fehler gibt , auf den Sie bisher niemand in Bezug auf Ihren obigen Schritt hingewiesen hat, den neue Logikstudenten oft machen

$$\begin{align*} \exists x(\emptyset \in x) & \leftrightarrow \exists x \exists y(y = \emptyset \land y \in x) \\ \end{align*}$$

bitte beachten Sie$\exists x(P(x) \land Q(x))$ist völlig anders als$\forall x(P(x) \rightarrow Q(x))$semantisch. Offensichtlich möchten Sie hier ausdrücken, dass jede Menge, die eine leere Menge ist, Mitglied einer Menge sein muss$x$, also sollten Sie wie folgt vorgehen:

$$\begin{align*} \exists x(\emptyset \in x) & \leftrightarrow \exists x \forall y(y = \emptyset \rightarrow y \in x) ~~(1)\\ \end{align*}$$

Ersetzen Sie dann Ihre relationale Definition, wir kommen zum gleichen Ergebnis wie Ihre zuvor akzeptierte Antwort:

$$\begin{align*} \exists x(\emptyset \in x) & \leftrightarrow \exists x \forall y(\forall z(z \notin y) \rightarrow y \in x) ~~(2)\\ \end{align*}$$

Aber Sie sollten besser wie folgt zu einer Pränex-Normalform (PNF) kommen und beachten, dass der endgültige Quantifizierertyp gewechselt hat (siehe PNF-Referenz):

$$\begin{align*} \exists x(\emptyset \in x) & \leftrightarrow \exists x \forall y \exists z(z \notin y \rightarrow y \in x) ~~(3)\\ \end{align*}$$

Oder Sie können äquivalent mit Schritt (2) oben über bedingte Ersetzung beginnen, um zu Folgendem zu gelangen:

$$\begin{align*} \exists x(\emptyset \in x) & \leftrightarrow \exists x \forall y [\lnot \forall z(z \notin y) \lor y \in x] \\ \end{align*}$$

Mit den pro quantifizierten DeMorgan- und Null-Quantifizierungsregeln können Sie zu einer anderen Pränex-Normalform gelangen:

$$\begin{align*} \exists x(\emptyset \in x) & \leftrightarrow \exists x \forall y \exists z(z \in y \lor y \in x) ~~(4)\\ \end{align*}$$