Ist es mathematisch möglich, eine gleichschwebende Stimmung zu erzeugen, die nur Intervallverhältnissen entspricht?

Per Definition ist dies nicht möglich.

Reine Intonationsverhältnisse sind rationale Zahlen, N/M, wobei N, M ganze Zahlen sind.

Gleichschwebende Stimmung basiert auf der Definition des kleinsten Verhältnisses als die n-te Wurzel von 2, 2^(1/n).
Für 12TET ist n = 12.

Was Sie im Grunde fragen, ist, ob eine irrationale Zahl so hergestellt werden kann, dass sie genau mit einem Verhältnis von ganzen Zahlen übereinstimmt. Das wird niemals möglich sein.

Da Sie mit Computern und Code zu tun haben, wissen Sie wahrscheinlich, dass 2^1/12 nicht mit endlicher Genauigkeit binär ausgedrückt werden kann. Dies wirft eine noch interessantere Frage in diesem Bereich auf. Die eigentliche Frage ist, können Sie eine gleichschwebende Stimmung in s/w erzeugen, die gerade innerhalb einer bestimmten Fehlertoleranz übereinstimmt? Und darauf mag die Antwort ja lauten, aber ein Purist würde argumentieren, dass die Annäherung nicht wirklich gleich temperiert ist! Der Pragmatiker würde erkennen, dass wir, egal wie sehr wir es versuchen, nicht sicherstellen können, dass Instrumente so gestimmt sind, dass f(n+1/2)/f(n) = 2^(1/12) ist, also ist der Punkt strittig. Und schließlich kann das menschliche Ohr irgendwann keinen Unterschied mehr erkennen, da der Auflösung unseres Ohr+Gehirn-Systems physikalische Grenzen gesetzt sind.

Wenn Sie bereit sind, die Grenzen der menschlichen Auflösung aufzuspüren und die endliche Genauigkeit in der Computerarithmetik zu berücksichtigen, können Sie möglicherweise einen ungefähren "TET" -Algorithmus generieren, der Ihnen gerechte Frequenzverhältnisse liefert, die beide innerhalb der Grenze der menschlichen Tonhöhenunterscheidung liegen und gleich innerhalb einer gewissen Fehlertoleranz. Das ist das Beste, worauf Sie hoffen können.

Die anderen Antworten nähern sich dem, indem sie die Oktave teilen und zeigen, dass gleiche Teilungen irrational sein müssen. Eine andere Betrachtungsweise besteht darin, zu überlegen, ob wir eine Oktave durch aufeinanderfolgende Multiplikationen mit einer rationalen Zahl bilden können . Das Ergebnis ist natürlich dasselbe: Wir können nicht.

Beginnen Sie mit dem Fundamentalsatz der Arithmetik :

jede ganze Zahl größer als 1 entweder selbst eine Primzahl ist oder als Produkt von Primzahlen dargestellt werden kann und dass diese Darstellung zudem bis auf (bis auf) die Reihenfolge der Faktoren eindeutig ist.

Dazu benötigen wir die Definition des irreduziblen Bruchs :

Jede rationale Zahl kann eindeutig als irreduzibler Bruch a/b ausgedrückt werden, wobei a und b teilerfremde ganze Zahlen sind und b > 0.

Zwei Zahlen sind „teilerfremd“, wenn sie keinen gemeinsamen Primfaktor haben. Somit kann eine rationale Zahl als die Menge von Primfaktoren (mit Exponenten) ausgedrückt werden, die ihren einzigartigen irreduziblen Ausdruck definiert. Beispielsweise kann 81:64 als 3 ⁴ * 2 ^–6 ausgedrückt werden . Wenn Sie Verhältnisse multiplizieren, addieren Sie die Exponenten ihrer Primfaktoren. Das Produkt von 3:2 und 5:4 ( 2 ⁻¹ * 3 ¹ und 2 ⁻² * 5 ¹ ) ist also 2 ⁻³ * 3 ¹ * 5 ¹ oder 15:8 .

Sie suchen nach einem Verhältnis R, das eine Oktave gleichmäßig in N Teile unterteilt, was bedeutet, dass R ^N gleich 2 ist. Können wir solche Verhältnisse identifizieren?

Das klassische Beispiel ist die perfekte Quinte, ein Verhältnis von 3:2. Andere Intervalle können gefunden werden, indem dieses Verhältnis auf eine bestimmte Potenz erhöht wird, indem die Oktave durch Multiplizieren oder Dividieren mit einer Potenz von 2 angepasst wird. Zum Beispiel kann die große Sekunde 9:8 sein, was das Quadrat von (3:2) 2 ^ist /2. Die große Terz kann 81:64 sein, was (3:2) ^4/4 ist . Um alle Tonhöhen im Quintenzirkel zu erzeugen, multiplizieren Sie weiter. Wenn Sie zu C zurückkehren (was einige Autoren B ♯ nennen werden), landen Sie bei einer Tonhöhe, die etwas höher als sieben Oktaven über derjenigen liegt, mit der Sie begonnen haben. Das Verhältnis dieser beiden Frequenzen ist 3 ¹² :2 ¹² . Sie können nicht genau dieselbe Tonigkeit erreichen, da die Primfaktorisierung 3 mit einem Exponenten ungleich Null enthält.

Durch Verallgemeinerung können wir zeigen, dass das gleiche für jede Ratio R gilt, die selbst keine Potenz von 2 ist. (Wenn R eine Potenz von 2 ist, dann haben Sie die eintönige gleichschwebende Stimmung definiert, ein System, in dem es nur gibt eine Tonigkeit und bei der das Grundintervall die Oktave oder ein Vielfaches davon ist, was nicht interessant ist. Dies ist dasselbe wie die Oktave durch die erste Wurzel von 2 zu teilen, die natürlich 2 ist.)

Betrachten Sie das Verhältnis R mit mindestens einem Primfaktor P ungleich 2. Wie beim Beispiel der perfekten Quinte ist jedes Mal, wenn Sie eine Frequenz mit R multiplizieren, die Größe des Exponenten von P in der resultierenden Frequenz größer als in der ursprünglichen Frequenz . Das Ziel ist es, ein Ergebnis zu erzielen, bei dem der Exponent von P Null ist, aber jede Multiplikation entfernt uns weiter von diesem Ergebnis. Es ist daher unmöglich.

Eines der Dinge bei der gleichschwebenden Stimmung ist natürlich, dass 2 ^7/12 so nahe an 1,5 liegt, dass reine Quinten für die meisten Zwecke nahe genug an rein sind. Vom Standpunkt der Verhältnisse kommt dies zustande, weil 3^12 (531.441) im Wert ziemlich nahe an 2^19 (524.288) liegt. Sie finden vielleicht anständige Annäherungen, indem Sie nach Zahlen suchen, deren Wert ähnlich nahe an einer Zweierpotenz liegt.

In der Praxis denke ich jedoch, dass Leute, die das gleichschwebende N-Ton-Temperament als Annäherung an die reine Intonation erforscht haben, N so gewählt haben, dass eine Potenz der N-ten Wurzel von 2 einen Wert nahe 1,25 hat (das Verhältnis des gerade großen Drittels). . Wenn Sie an einem anderen Intervall interessiert sind, können Sie mit Werten von N experimentieren, um eine gute Annäherung an dieses Intervall zu finden.

Ich fühle mich jedoch gezwungen, mit dieser Warnung zu schließen: Wenn Sie zu viele Unterteilungen der Oktave haben, ist das System für menschliche Musiker nicht nützlich. Es wird nur für einen Computer nützlich sein. Wenn Sie ein solches System als Annäherung an eine reine Intonation mit variabler Tonhöhe betrachten, muss der Programmierer (oder das Programm) auswählen, welche der mehreren Noten verwendet werden soll. Bei der gleichschwebenden 53-Ton-Stimmung kann ein Ganztonschritt 8/53 oder 9/53 einer Oktave groß sein. Bei einer reinen Intonation mit variabler Tonhöhe kann ein ganzer Schritt ein Verhältnis von 10:9 oder ein Verhältnis von 9:8 haben. Es ist im Grunde das gleiche Problem. Warum programmieren Sie Ihren Computer nicht einfach so, dass er eine reine Intonation mit variabler Tonhöhe verwendet?

So wie ich die Frage verstehe, ist dies reine Mathematik:

Nein, es ist unmöglich. Egal, wie viele Divisionen Sie haben, sagen wir n, die Schrittweite ist immer die n-te Wurzel aus zwei und daher eine irrationale Zahl.

Die geraden Relationen sind rationale Zahlen, daher wird es immer Annäherungen geben, aber je mehr Sie wählen, dh je höher n ist, desto näher können Sie sich nähern.

Sie können nicht einmal ein System mit gleicher Stimmung* bekommen, in dem Quinten und Oktaven perfekt sind. Dies liegt einfach daran, dass bei einem System gleicher Schritte, in dem eine Oktave A- Schritte groß und ein Zwölftel B- Schritte groß wäre, es naheliegend wäre, dass B- Oktaven gleich A- Zwölftel wären , da beide ein Intervall von wären ABSchritte. Das kann aber nicht passieren: eine Zwölfte ist das Verhältnis 3:1 und eine Oktave 2:1. Wenn Sie Vielfache eines Intervalls stapeln, erhöhen Sie sein Verhältnis zu einer Potenz - aber keine positive Potenz von 3 ist gleich einer Potenz von 2, da Potenzen von 3 alle ungerade und Potenzen von 2 alle gerade sind. Diese Überlegung gilt grundsätzlich für alle Intervallpaare – zwei rationale Zahlen, die eine Potenz teilen, sind eine ganz besondere Eigenschaft.

Anders gesagt: Eine Quinte ist gleich log(1,5)/log(2) Oktaven (etwa 0,585) und diese Zahl kann nicht als Verhältnis ganzer Zahlen dargestellt werden. Sie können jedoch versuchen, es durch rationale Zahlen anzunähern - indem Sie beispielsweise die Konvergenzen zu diesem Verhältnis verwenden (die in gewisser Weise die besten Annäherungen bis zu einem bestimmten maximalen Nenner sind), erhalten Sie die folgende Abfolge von Annäherungen zum Verhältnis:

0/1, 1/1, 1/2, 3/5, 7/12, 24/41, 31/53, 179/306, ...

Wobei die Zahl 7/12 so interpretiert werden würde, dass eine Quinte in 12TET etwa 7 Tönen entspricht - was natürlich eine bekannte Tatsache ist. Diese speziellen Nenner schneiden bei der Annäherung an ein Fünftel weitaus besser ab als andere Brüche mit einem ähnlich großen Nenner - zum Beispiel ist 7/12 nur um etwa 3 Teile pro 2000 abweichend - was weitaus besser ist als die Annäherung von log (1,5) / log (2) durch Runden auf das nächste Hundertstel: 0,58, trotz dieser letzteren Annäherung unter Verwendung eines Nenners von 100 als 58/100. Die Annäherung 31/53 weicht nur um etwa 1 Teil pro 20000 ab, was ziemlich gut für eine Annäherung ist, deren Nenner nur 53 beträgt.

Natürlich ist es etwas schwieriger zu sagen, was passiert, wenn Sie plötzlich andere Verhältnisse als Quinten und Oktaven und Zusammensetzungen davon wollen - wenn Sie nur Oktaven, Quinten und Terzen wollten, würden Sie nach einem solchen Nenner (Anzahl der Schritte) suchen Sowohl log(3)/log(2) (für Zwölfte) als auch log(5)/log(2) (für große Terz + zwei Oktaven) lagen bei diesem Nenner nahe an Brüchen - und dies ist mathematisch nicht so einfach wie die Annäherung an nur a Paar Intervalle (aber immer noch unmöglich, es perfekt zu machen).

(* Ungeachtet dessen, dass Sie auf mehrere Dimensionen mit mehreren Arten von gleichen Schritten erweitern könnten - zum Beispiel stellt ein Tonnetz oder eine isomorphe Tastatur genau dies dar, wo eine Dimension Schritte von perfekten Quinten und die andere große Terzen hat - was dann auch zu kleinen Terzen entlang einer anderen führt Richtung. Natürlich verlieren Sie auf diese Weise die lineare Natur einer Tastatur, da Sie es jetzt mit zwei Verhältnissen zu tun haben - und Sie haben immer noch keine Oktaven, obwohl Sie sich vorstellen könnten, noch eine dritte Achse hinzuzufügen!)

Andere Antworten beweisen gut, warum es keine nicht-triviale exakte Lösung geben kann. Der Vollständigkeit halber möchte ich anmerken, dass es eine triviale Lösung gibt, wenn auch musikalisch nicht besonders nützlich - eine Note pro Oktave. Alle Tonverhältnisse unterscheiden sich um eine Zweierpotenz, die immer ganzzahlig und damit "gerade" ist - trivialerweise, da nur eine Tonigkeit erlaubt ist.

Diese Frage ist 2500 Jahre alt, und die Antwort ist nein. Siehe meine alte Antwort hier, warum # und b