Wenn die gleiche Stimmung eine Oktave in 12 gleiche Teile teilt, warum sind dann die Hertz-Unterschiede nicht gleich, sondern Zwölftel von zwei?

Die Intervalle zwischen Noten sind nicht in dem Sinne "gleich", dass der Unterschied in Hz zwischen ihnen gleich ist, aber das Verhältnis a zwischen ihnen ist gleich. Nehmen wir an, gist einen Halbton höher als f, dann g = a f.

Note  Hz      Ratio a to previous note, rounded to 3 decimal places
A4    440.00
A#4   466.16  1.059 (466.16 / 440.0 = 1.059, and so on down the column)
B4    493.88  1.059
C5    523.25  1.059
C#5   554.37  1.059
D5    587.33  1.059
D#5   622.25  1.059
E5    659.25  1.059
F5    698.46  1.059
F#5   739.99  1.059
G5    783.99  1.059
G#5   830.61  1.059
A5    880.00  1.059

Es ist möglicherweise einfacher zu verstehen, wenn Sie an die Frequenz der Oktaven denken. Die Anzahl der Hz zwischen den Oktaven ist unterschiedlich (220, 440, 880, 1760 usw.), aber das Verhältnis von 2:1 ist immer gleich. Dasselbe Konzept gilt für die Noten in der Tonleiter.

Mathematisch gesehen teilen wir eine Oktave (Verhältnis 2:1) in 12 gleiche Schritte (gleiches Verhältnis, dh a^12=2). Mit einem wissenschaftlichen Taschenrechner können wir nach lösen a=2^(1/12) = 1.0594630943592952645618252949463, was (fast) dem genauen Verhältnis zwischen zwei Halbtonschritten entspricht.

Die Aufteilung von Tönen hat mit menschlicher Wahrnehmung und Psychoakustik zu tun. Eine Beschreibung der menschlichen Wahrnehmung ist das Weber-Fechner-Gesetz, bei dem ein Mensch gleiche Änderungen in einigen sensorischen Eingaben, wie z. B. Schallpegel oder Tonhöhe, nicht durch absolute Pegel- oder Wertunterschiede, sondern durch das Verhältnis der Änderung wahrnimmt. z. B. erfordern größere Werte eine proportional größere Änderung, damit die Änderung wahrgenommen wird (wenn sie klein ist) oder als ungefähr gleich wahrgenommen wird, innerhalb eines vernünftigen Bereichs (z. B. hörbar, aber ohne Gehörschäden usw.).

Damit ein Halbtonintervall (Viertel, Quinte usw.) gleich klingt, unabhängig davon, von welcher Grundnote man ausgeht, müssen sich die Noten in der gleichtemperierten Tonleiter nicht durch gleiche absolute Frequenzunterschiede unterscheiden (wie dies entstehen würde durch gleiche Hz-Deltas zwischen Noten), aber durch gleiche Verhältnisunterschiede (die 12. Wurzel von 2, so dass zwölf gleiche Multiplikationen einer Oktave entsprechen).

zB muss die "Gleichheit" in der gleichen Teilung im Verhältnis gleich sein, nicht additiver absoluter Wert.

Was passiert, wenn Sie die gleichen Schritte nach unten gehen:

• 440Hz
• 1 Schritt nach unten: 403,33 Hz
• 2 Schritte nach unten: 366,67 Hz
• 3 Schritte nach unten: 330.Hz
• ...
• 11 Schritte nach unten: 36,67 Hz
• 12 Schritte nach unten: 0 Hz
• 13 Schritte nach unten: -36,67 Hz

Wenn Sie also Ihre "gleichmäßig geteilte" Logik verwenden, sind wir nach 12 Schritten bei null Hz, und der nächste Schritt darüber hinaus ist minus 37 Hz! Was bedeutet das überhaupt? Aber ok, folgen wir Ihrer Logik ein wenig ... was ist die Frequenz genau in der Mitte der Oktave 440 - 880 Hz, das wären 660 Hz. Was ist eine Oktave darüber? Das wären 2 * 660 Hz = 1320 Hz. Was wären die Schritte in dieser Oktave - 660 Hz / 12 = 55 Hz? Ok, dann gehen wir von 660 Hz einen Schritt nach oben, das sind 660 Hz + 55 Hz = 715 Hz. Aber warte ... der Schritt sollte 37 Hz sein, nicht 55 Hz??? Hängt Ihre Schrittweite von den Start- und Endpunkten der Oktave ab? Oder macht es einen plötzlichen Sprung bei 880 Hz - Schritte unter 880 wären 440 / 12, aber über 880 wären sie 880 / 12? Woher kommt so ein Teiler, Ist es eingebettet in die Natur? Ich dachte, A = 440 Hz sei nur eine vereinbarte Konvention, kein Naturgesetz.

Woher hast du die 880Hz? Durch Multiplikation mit 2, also eine Oktave höher. Ich denke, das muss für jede Frequenz gelten, nicht nur für 440 Hz? Zum Beispiel muss eine Oktave höher von 880Hz 880Hz * 2 sein? Und jede andere Frequenz wie 1000 Hz ... eine Oktave darüber muss 2000 Hz sein. Wenn das Intervall einer Oktave durch Multiplikation berechnet wird, wie könnten andere Intervalle durch Addition berechnet werden?

Fragen Sie sich also: Wenn F1 und F2 die Frequenzen zweier aufeinanderfolgender Halbtöne sind, wie ist die Beziehung zwischen F1 und F2, wenn (F1 * 2) und (F2 * 2) dieselbe Beziehung haben müssen?

Sie suchen nach einer Funktion f(F) , bei der f 12 Mal angewendet 2*F ergibt.

    f(f(f(f(f(f(f(f(f(f(f(f(f(F)))))))))))) = 2 * F

Wenn Sie von F einen Halbton nach oben gehen, erhalten Sie eine Frequenz f(F). Die Frequenz eine Oktave höher davon ist 2 * f(F).

Wenn Sie zuerst eine Oktave nach oben gehen, erhalten Sie F*2. Und wenn Sie davon einen Halbton erhöhen, erhalten Sie f(F*2), was die gleiche Frequenz haben sollte, also:

    2 * f(F) = f(2 * F)

Wie könnte die Funktion f aussehen?

Aus der Betreffzeile "Warum sind Hertz-Unterschiede nicht gleich, aber Element 12 von zwei?" Ich gehe davon aus, dass Sie bereits wissen, dass aufeinanderfolgende Halbtöne ein Verhältnis von 2 ^ (1/12) haben.

Eine einfache Möglichkeit besteht darin, die oben vorgeschlagenen Verhältnisse zu betrachten. Man kann ein Intervall arithmetisch gleichmäßig teilen, so dass die Länge (Größe oder technischer "Maß") jedes Teilintervalls identisch ist. Arithmetische Teilung eines Intervalls in 12 Teile (ich kann die 12 erklären, aber es erfordert mehr Mathematik) ergibt 1 = 12/12, 13/12, 14/12, 15/12, 16/12, 17/12, 18/ 12., 19.12., 20.12., 21.12., 22.12., 22.12., 24.12. = 2. Das Gehör der Menschen scheint jedoch (experimentell) eher Frequenzverhältnisse als Unterschiede als identischer zu unterscheiden. Zum Beispiel (mit A = 440 cps) ist das fünfte über A E bei 660 cps, nicht 19/12 * 440 = 696,666 ....

Wenn wir für jeden Halbschritt gleiche Verhältnisse wollen, verwenden wir statt (2-1)/12 2^(1/12). Der Punkt ist, dass das Verhältnis von G zu C für alle Quinten (AD, CF usw.) konstant ist. Seit der Antike beträgt das Verhältnis einer Quinte 3:2 (oder das 3/2-fache der Frequenz der tieferen Note). Dies geht damit einher, eine Saite in Intervalle zu unterteilen und auf die Frequenz der beiden kürzeren Stücke zu hören. (Nebenbei: Vincenzo Galilei schlug vor, 18/17 als Annäherung an die zwölfte Wurzel aus zwei zu verwenden; es ist bemerkenswert gut.)

Allerdings: Für Rechenarbeiten können wir Logarithmen verwenden; Der Logarithmus eines Verhältnisses ist die Differenz der Logarithmen der Bestandteile dieses Verhältnisses. Man teilt die Oktave in 1200 Cent (die 1200ste Wurzel aus 2) und weist dem gleichschwebenden Halbton 100 Cent zu. Dies ermöglicht es einem, leicht (zumindest wenn man Bleistift und Papier anstelle eines Taschenrechners verwendet) Intervallgrößen für unterschiedliche Stimmungen zu berechnen.

Obwohl unsere Ohren (experimentell) nach Verhältnissen hören, können wir also nach Verhältnissen oder Additionen rechnen. Wiki hat eine Reihe von Artikeln qG (quod Google in Analogie zu qv), die eine umfassendere Erklärung geben.

Betrachten Sie zunächst die gleichmäßige Aufteilung der Oktaven in einen Teil. Denken Sie also daran, die Tonhöhe nur um Oktaven zu ändern.

Wenn wir mit A1=55 Hz beginnen, haben wir folgende Tonhöhen:

    Pitch-Frequenz
    ----------------
    A1 55Hz
    A2 110Hz
    A3 220Hz
    A4 440Hz
    A5 880Hz
    ...

Sie können sehen, dass Sie die Frequenz um einen gleichen Multiplikationsfaktor erhöhen, wenn Sie die Tonhöhe um einen gleichen additiven Betrag erhöhen . Das heißt, jedes Mal, wenn Sie die Tonhöhe um eine Oktave erhöhen, verdoppeln Sie die Frequenz. Das bedeutet, dass der Zusammenhang zwischen Tonhöhe und Frequenz logarithmisch ist.

Von dort aus ist es ziemlich einfach, zu dem Schluss zu kommen, dass Sie, um die Oktave in eine Anzahl gleicher Teile zu teilen, den Faktor finden müssen, der, wenn er diese Anzahl mal mit sich selbst multipliziert, 2 ergibt. Mit anderen Worten, der entsprechende Frequenzfaktor zu einer Teilung der Oktave in n Teile ist die n-te Wurzel aus 2.

Möglicherweise ist es eine einfache Art, es zu betrachten, indem man sich einen Gitarrenhals ansieht. Eine Oktave ist dort in 12 Teile geteilt - gleich insofern, als jeder Bund einen Halbton von seinem Nachbarn entfernt ist. Aber wenn man genau hinschaut, ist es ziemlich offensichtlich, dass nicht jeder Bund gleich groß ist. Tatsächlich ist der elfte Bund fast halb so groß wie der erste, vom Sattel bis zum Bund 1. Gehen Sie weiter, und der 12. (Oktave) ist tatsächlich halb so groß wie der erste.

Ihre Hypothese ist, dass sie alle gleich groß wären - ein Zwölftel der halben Länge der offenen Saite? Wäre das der Fall, was würde bei Bund 13 passieren? Und abgesehen davon würde jeder Bund eine verstimmte Note erzeugen. Es muss also ein Verhältnis jedes Bundes zu seinem Nachbarn geben, wie in anderen guten Antworten erwähnt.

Unser Notensystem ist eine logarithmische Skala für die Häufigkeit. Eine logarithmische Skala verwandelt gleiche Brüche in gleiche Entfernungen. Sie können die gleichschwebende Stimmung als konstante Schrittweite 1/12auf der log_2Frequenzskala definieren.

Zurück zur linearen Skala bedeutet dies, dass ein Halbton in einen Faktor von 2^(1/12)(die zwölfte Wurzel von zwei) übersetzt wird.

Der Grund dafür ist, dass der Klang eines Intervalls davon abhängt, wie die Obertonspektren der beiden Knoten zusammenpassen .

Die Oktave hat die einzigartige Eigenschaft, dass alle Obertöne der höheren Note mit einigen Obertönen der tieferen Note übereinstimmen. Ebenso stimmt bei einer reinen Quinte (Faktor 3/2) jeder zweite Oberton der oberen Note mit jedem dritten Oberton der unteren Note überein. Ähnliche Beziehungen gelten für die perfekte Quarte (Faktor 4/3), die große Terz (5/4) und die große Sexte (5/3). Und so weiter und so fort. Das Muster, wie die Obertöne zusammenpassen, definiert den Klang des Intervalls, und die Obertöne werden durch Frequenzfaktoren definiert .

Daher kann nur eine logarithmische Skala verwendet werden, um Intervalle gut zu beschreiben (unser Notensystem). Und folglich muss die gleichschwebende Stimmung auf der logarithmischen Skala definiert werden.

Wenn eine Oktave dadurch definiert ist:

• Verdoppelung der Frequenz
• 12 Schritte

Warum sollte der Weg von einer Tonart zur nächsten einer anderen Regel unterliegen (zB entlang einer anderen Kurve in einem X,Y-Diagramm) als etwa 12 Tonarten zu gehen, was nichts anderes ist, als die Regel von Ton zu Ton anzuwenden -Taste 12 mal? Es gibt eine Funktion, die vorschreibt, wie von einer Taste zur nächsten gewechselt wird, was durch die obigen Begriffe definiert ist. Was Sie tun möchten, ist, sich linear von Ton zu Ton zu bewegen, was der obigen Definition widerspricht. Die Kurve ist keine Linie. Es ist nicht als Addition von etwas definiert, sondern als Verdoppelung (Multiplikation) über eine bestimmte Anzahl von Schlüsseln (12). Eine Oktave über 110 Hz ist 220. Aber eine Oktave darüber ist 440, nicht 330 - Sie addieren keine Zahl (die gleiche Schritte erhalten würde), Sie multiplizieren (die lineare Schrittgröße nimmt zu, wenn Sie höher gehen).

Wenn also x der Multiplikationsschritt von einer Taste zur nächsten ist, ist f die Startfrequenz und 2*f eine Oktave darüber:

f * x * x * ... * x = 2*f  | 12 steps, i.e. 1 (multiplication) step applied 12 times
f * x^12 = 2*f  | divide by f
x^12 = 2  | solve for x
x = 2 ^ (1/12)

dh 12. Wurzel aus 2. Siehe das Bild unten: Die orange Kurve folgt dieser Regel von 110 Hz bis 880 Hz, mit allen Halbtonschritten dazwischen. Die blaue Kurve ist das, was passieren würde, wenn Sie versuchen würden, beide Anforderungen zu erfüllen: Frequenzverdopplung pro Oktave, aber auch in gleichen Schritten (dh linear) von einer Oktave zur nächsten. Beide Kurven treffen sich bei jeder Oktave: 110, 220, 440, 880. Sehen Sie, wie diese blaue Linie nicht einer glatten Funktion folgt, sondern aus linearen Segmenten zusammengesetzt ist? Ich glaube nicht, dass Sie erwarten würden, dass dies natürlich und gleichmäßig klingt, wenn Sie mit der Frequenz für Halbtöne auf diese Weise steigen;) Um sich reibungslos nach oben zu bewegen und die "Verdoppelung der Frequenz pro Oktave" zu erfüllen, müssen Ihre Halbtöne eingeschaltet sein diese orange Kurve (und natürlich auch Halbtöne wie Cent, dh 100 Cent sind auch nicht gleich weit entfernt)

Eine Oktave nach oben zu gehen bedeutet nicht, 440 Hz hinzuzufügen ; vielmehr bedeutet es, mit 2 zu multiplizieren . Jedes Mal, wenn Sie einen halben Ton nach oben gehen, multiplizieren Sie mit demselben Betrag; Sie fügen nicht die gleiche Menge hinzu .

Dies ist eine weitere Antwort, die versucht, auch die Frage für Menschen zu verstehen, die mit Verhältnissen und anderen abstrakten Begriffen nicht umgehen können:

Stellen Sie sich vor, Sie haben einen Ton mit einer Frequenz von 12 Hz (eine Saite, die 12 Mal pro Sekunde schwingt). Wie müssen die 12 Halbtöne zwischen den Oktaven (24 Hz) gestimmt werden, damit die Unterschiede zwischen allen Halbtönen gleich sind?

Die Frage impliziert: Wenn der Tonumfang zwischen den Oktaven 12 Hz beträgt, warum beträgt die Differenz zwischen den 12 Halbschritten dann nicht immer nur 1 Hz?

Wurzel=12Hz

kleine Sekunde 13Hz

große Sekunde 14Hz

.

.

.

.

reine Quinte 18Hz

.

.

.

große Septime: 23Hz

Oktave: 24

Wir können sehen, dass der Unterschied zwischen der ersten Hälfte von 12 Hz und 13 Hz nur 1/10 von 12 Hz (10 % der gesamten Oktave) beträgt, während der zusätzliche Unterschied zwischen der Oktave von 24 Hz und dem vorhergehenden Halbton (23 Hz) fast nur gewesen wäre ein 1/20 (=5%) der Differenz zwischen dem nächsten oberen Halbton über der Oktave wird 2Hz mehr sein - weil dies ein 1/10 der nächsten Oktave von 48Hz sein muss, da die Differenz zwischen der Ocatava' (24Hz ) und Oktava'' (48Hz) ist 24Hz! (48-24=24) und ein Halbschritt von 1/12 zwischen Oktava' und Oktava'' wird 2 sein?

Daraus können wir ableiten, dass die Differenzen zwischen den Halbschritten nicht 1/12 addieren, sondern proportional sind, indem jeder Halbschritt mit 1/12 multipliziert wird.

Hoffe, das ist nicht dröhnend und verwirrend. TLDR?