Können wir aus numerischen Beweisen auf die Existenz periodischer Lösungen des Dreikörperproblems schließen?

Es scheint, als könnten sie die Existenz von N-Körper-Choreographien rigoros beweisen, indem sie die Krawczyk-Intervallmethode verwendeten, um zu zeigen, dass ein Minimum für das im Unterraum des vollen Phasenraums gelöste Variationsproblem existiert, das einige Symmetriebedingungen erfüllt.

Den angegebenen Links folgend, fand ich dieses Papier , in dem die Methode erklärt wird. Es ist nicht gerade leichte Lektüre, aber auf Seite 6 heißt es: „Wenn all diese Bedingungen alle erfüllt sind, dann sind wir aus Theorem 4.5 sicher, dass in der Menge$Z \times \{c_0\}$es gibt eine Anfangsbedingung für die Choreographie. Da außerdem die Menge Z normalerweise sehr klein ist, ist die Form der bewiesenen Choreografie unserer ersten Annäherung sehr ähnlich."

Es hört sich so an, als ob sie mit "einer anfänglichen Vermutung" beginnen, sie können zeigen, dass es eine "exakte Lösung" gibt, die dieser anfänglichen Vermutung sehr nahe kommt. Und man kann wahrscheinlich durch immer genauere Berechnung eine Kurve erhalten, die der tatsächlichen Lösung beliebig nahe kommt. Aber die Existenz der Choreografie wird mit Hilfe ihrer numerischen Methode rigoros festgestellt.

Beachten Sie, dass sie am Anfang der Arbeit die Lösungen, die durch die üblichen numerischen Methoden erhalten wurden, als "Lösungen, die auf nicht-rigorose numerische Weise hergestellt wurden" erwähnen.

Nicht die Antwort, die Sie wollen, aber ... Ich habe oben aus einigen Quellen gelesen. Und hatte einige N-Körper-Probleme im Auge.

Was soll ich sagen - nicht-symplektischer Ansatz bei$[0,\infty]$ist standardmäßig instabil. Runge-Kutta, alle Quantifizierungsmethoden - instabil. Fehlende Stabilität ist das allgemeine Problem. Es gilt für viele$[0,\infty]$Probleme.

Periodisch gesucht$[0,T]$ist fast das gleiche wie die Lösung von$[0,\tau]$mit einigen Nuancen.

Aber im Grunde gibt es keine Antwort auf die nächste Frage (die im Grunde ergodisch ist, aber tiefer und raffinierter als$3n+1$Problem):

Wie viel Zeit benötigt der Körper, um in Abhängigkeit von gegebenen Anfangsbedingungen freie Geschwindigkeit zu erreichen und das System zu verlassen?

Der symplektische Ansatz kann eine virtuelle "echte" Lösung schaffen, zu der Sie sich mit einer Reihe oder einer anderen Erweiterungstechnik bewegen. Dann können Sie Serien über Serien extrahieren und Probleme in symbolisches Chaos verwandeln. Es gibt auch ein Feld der aktuellen Forschung.

App1. Was ist diese sogenannte „Choreographie“?

1. Sie finden die$F([0,T])$Lösung. Es ist ein bekannter Ansatz, der für viele Gleichungen getestet wurde. T ist ein sehr begrenzter Parameter. Was ist, wenn es eine zählbare Menge von Umlaufbahnen gibt? Diese Ergebnisse machen Spaß, aber sind sie nützlich? Symmetrien helfen nicht, wenn Sie eine Freikörperlösung wünschen.
2. Wenn sie mit betrügen$1/r$Teil des Potenzials - es ist sehr schlimm, denn wenn sie dazu gezwungen werden, machen sie von Anfang an alles falsch . Die Quantisierung der Zeit Runge-Kutta und andere ähnliche "Taylor Fixed Order"-Methoden sind in ihrem Inneren falsch , wenn sie sich dem Anfangsbuchstaben nähern$[0,\infty]$Problem. Aber sie arbeiten im iterativen Fehlerkorrekturmodus für$[0,\tau]$. Also im Grunde tun diese Jungs$[0,\tau]$, wenn sie Glück haben, stecken sie in der$[0,T]$Lösung für kleine$T$, und nenne es "richtig". Aber im Grunde ist es eine Hausaufgabe für einen numerischen Universitätskurs über Taylor-ODE-Methoden.

Sie haben die Lösung des numerischen Problems, aber keinen Beweis dafür, dass dieses numerische Schema absolut in die reale Umlaufbahn integrierbar ist. Für die Integration in den Orbit muss man einen Mechanismus beschreiben, mit dem man mehr Rechenleistung hinzufügen kann

Es könnte also nicht absolut integrierbar sein, Sie sind nicht frei in der Wahl$\epsilon$.