Numerische Lösung des Dreikörperproblems

Question

Numerische Lösung des Dreikörperproblems

Elio Pereira

Ich möchte ein Programm in erstellen $Mathematica$ die das Drei-Körper-Problem durch die Euler-Lagrange-Gleichungen numerisch löst. Ich suchte einige Methoden, um es erfolgreich zu tun. Also habe ich in http://www.maths.usyd.edu.au/u/joachimw/thesis.pdf (Seite 12) einen Weg gefunden, das Zwei-Körper-Problem zu lösen . Ich habe auch herausgefunden, wie man die Anzahl der verallgemeinerten Koordinaten mithilfe von relativen Positionsvektoren minimiert $\vec{s_i}=\vec{r_j}-\vec{r_k}$ und Massenmittelpunkt $\vec{r_G}$ , wie Sie es im folgenden Schema sehen können, gescannt von Goldstein, 3. Auflage : Geben Sie hier die Bildbeschreibung ein

Damit erreichte ich den Lagrangin zu einem Drei-Körper-System:

L = \frac{1}{2} M {\dot{R}}_{G}^{2} + \frac{1}{2} \frac{M_{1} M_{2}}{M} | \vec{{\dot{R}}_{1}} - \vec{{\dot{R}}_{2}} |^{2} + \frac{1}{2} \frac{M_{2} M_{3}}{M} | \vec{{\dot{R}}_{2}} - \vec{{\dot{R}}_{3}} |^{2} + \frac{1}{2} \frac{M_{1} M_{3}}{M} | \vec{{\dot{R}}_{1}} - \vec{{\dot{R}}_{3}} |^{2} + 2 G [\frac{M_{1} M_{2}}{| \vec{R_{1}} - \vec{R_{2}} |} + \frac{M_{2} M_{3}}{| \vec{R_{2}} - \vec{R_{3}} |} + \frac{M_{1} M_{3}}{| \vec{R_{1}} - \vec{R_{3}} |}]

$\mathcal{L}=\frac{1}{2}M\dot{r}_{G}^2+\frac{1}{2}\frac{m_1m_2}{M}|\vec{\dot{r}_1}-\vec{\dot{r}_2}|^2+\frac{1}{2}\frac{m_2m_3}{M}|\vec{\dot{r}_2}-\vec{\dot{r}_3}|^2+\frac{1}{2}\frac{m_1m_3}{M}|\vec{\dot{r}_1}-\vec{\dot{r}_3}|^2+2G \left[\frac{m_1m_2}{|\vec{{r}_1}-\vec{{r}_2}|}+\frac{m_2m_3}{|\vec{{r}_2}-\vec{{r}_3}|}+\frac{m_1m_3}{|\vec{{r}_1}-\vec{{r}_3}|}\right]$

Ich möchte Euler-Lagrange-Gleichungen verwenden:

\frac{D}{D T} (\frac{\partial L}{\partial {\dot{Q}}_{ich}}) - \frac{\partial L}{\partial Q_{ich}} = 0

$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial{\dot{q}_i}}\right)-\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial q_i}=0$

Wo $q_i=r_G,s_1,s_2,s_3$ .

Auffinden der Lagrange-Gleichungen für $r_G$ war wirklich einfach, weil $\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{r}_{G}}$ ist eine Erhaltungsgröße ( $r_G$ erscheint nicht explizit in $\mathcal{L}$ ). Aber das Finden von Lagrange-Gleichungen für $s_i$ , $i=1,2,3$ war etwas verwirrend.

Ich habe Zweifel: Stimmt das

\frac{D}{D T} (| \vec{R_{J}} - \vec{R_{k}} |) = | \vec{{\dot{R}}_{J}} - \vec{{\dot{R}}_{k}} |

$\frac{d}{dt}\left(|\vec{{r}_j}-\vec{{r}_k}|\right)=|\vec{\dot{r}_j}-\vec{\dot{r}_k}|$ oder genauer gesagt,

\dot{S_{ich}} = | \vec{{\dot{R}}_{J}} - \vec{{\dot{R}}_{k}} | ?

$\dot{s_i}=|\vec{\dot{r}_j}-\vec{\dot{r}_k}|~?$ Denn wenn dies nicht der Fall ist (und das denke ich), war es nicht sinnvoll, relative Positionsvektoren zu verwenden. Es würde neue verallgemeinerte Koordinaten als erfordern

x, y, z

$x,y,z$ Komponenten von

\vec{s_{i}}

$\vec{s_i}$ .

Was wäre Ihr Ansatz, um dieses Problem zu lösen? Könnte dies ein guter Weg sein, dies zu tun?

Victor Buendía

Sind die Euler-Lagrange-Gleichungen eine Voraussetzung? Um diese Art von Differentialgleichungen zu lösen, sind Hamilton-Gleichungen einfacher, weil sie Gleichungen 1. Ordnung sind. Übrigens habe ich dieses Jahr ein Sonnensystem mit einem Verlet-Algorithmus numerisch berechnet. Es ist schnell und bietet eine akzeptable Genauigkeit. Zweite Sache. Zu Ihrem Zweifel: Ich empfehle Ihnen, explizit die Form zu schreiben

| \vec{r_{j}} - \vec{r_{k}} | = \sqrt{(x_{j} - x_{k})^{2} + (y_{j} - y_{k})^{2} + (z_{j} - z_{k})^{2}}

$|\vec{r_j}-\vec{r_k}|=\sqrt{(x_j-x_k)^2+(y_j-y_k)^2+(z_j-z_k)^2}$ , dann ableiten, dann das Ergebnis in Bezug auf neu ordnen

\vec{\dot{r_{j}}}

$\vec{\dot{r_j}}$ Und

\vec{\dot{r_{k}}}

$\vec{\dot{r_k}}$ .

Elio Pereira

Ich könnte versuchen, dieses Problem mit Hamilton-Gleichungen zu lösen, danke für Ihren Rat. Relativ zu meinen Zweifeln habe ich das gerade gefunden

\frac{d}{d t} (| \vec{r_{i}} - \vec{r_{j}} |) = | \vec{{\dot{r}}_{i}} - \vec{{\dot{r}}_{j}} | \cos (θ) \neq | \vec{{\dot{r}}_{i}} - \vec{{\dot{r}}_{j}} |

$\frac{d}{dt}\left(|\vec{r_i}-\vec{r_j}|\right)=|\vec{\dot{r}_i}-\vec{\dot{r}_j}|\cos(\theta)\neq|\vec{\dot{r}_i}-\vec{\dot{r}_j}|$ , Wo

θ = ∠ (\vec{{\dot{r}}_{i}} - \vec{{\dot{r}}_{j}}, \vec{r_{i}} - \vec{r_{j}})

$\theta=\angle(\vec{\dot{r}_i}-\vec{\dot{r}_j},\vec{{r}_i}-\vec{{r}_j})$ . Ich glaube nicht, dass ich das ausdrücken könnte

\cos (θ)

$\cos(\theta)$ bezüglich

r_{i}, r_{j}, {\dot{r}}_{i}

$r_i,r_j,\dot{r}_i$ oder

{\dot{r}}_{j}

$\dot{r}_j$ .

Elio Pereira

Aber wir können das Problem nicht mit Hamilton-Gleichungen vereinfachen, da verallgemeinerte Koordinaten die gleichen wären wie in Lagrange-Gleichungen. Also müssen wir immer noch die verwenden

x, y, z

$x,y,z$ Komponenten von

\vec{s_{i}}

$\vec{s_i}$ ,

i = 1, 2, 3

$i=1,2,3$ .

Antworten (1)

Numerische Lösung des Dreikörperproblems

Sind die Euler-Lagrange-Gleichungen eine Voraussetzung? Um diese Art von Differentialgleichungen zu lösen, sind Hamilton-Gleichungen einfacher, weil sie Gleichungen 1. Ordnung sind. Übrigens habe ich dieses Jahr ein Sonnensystem mit einem Verlet-Algorithmus numerisch berechnet. Es ist schnell und bietet eine akzeptable Genauigkeit. Zweite Sache. Zu Ihrem Zweifel: Ich empfehle Ihnen, explizit die Form zu schreiben $|\vec{r_j}-\vec{r_k}|=\sqrt{(x_j-x_k)^2+(y_j-y_k)^2+(z_j-z_k)^2}$ , dann ableiten, dann das Ergebnis in Bezug auf neu ordnen $\vec{\dot{r_j}}$ Und $\vec{\dot{r_k}}$ .
Ich könnte versuchen, dieses Problem mit Hamilton-Gleichungen zu lösen, danke für Ihren Rat. Relativ zu meinen Zweifeln habe ich das gerade gefunden $\frac{d}{dt}\left(|\vec{r_i}-\vec{r_j}|\right)=|\vec{\dot{r}_i}-\vec{\dot{r}_j}|\cos(\theta)\neq|\vec{\dot{r}_i}-\vec{\dot{r}_j}|$ , Wo $\theta=\angle(\vec{\dot{r}_i}-\vec{\dot{r}_j},\vec{{r}_i}-\vec{{r}_j})$ . Ich glaube nicht, dass ich das ausdrücken könnte $\cos(\theta)$ bezüglich $r_i,r_j,\dot{r}_i$ oder $\dot{r}_j$ .
Aber wir können das Problem nicht mit Hamilton-Gleichungen vereinfachen, da verallgemeinerte Koordinaten die gleichen wären wie in Lagrange-Gleichungen. Also müssen wir immer noch die verwenden $x,y,z$ Komponenten von $\vec{s_i}$ , $i=1,2,3$ .

Victor Buendía · Answer 1

Nun, ich habe einige Berechnungen zu Ihrem Problem angestellt.

Das Problem ist in der Tat das $|\vec{r_i}-\vec{r_j}|$ überall. Auch die zeitliche Ableitung davon ist Schmerz. Natürlich können Sie es ohne den Winkel schreiben, den Sie kommentiert haben, wenn Sie die Ableitungen in Form von Eskalarprodukten schreiben.

Dem folge ich aber nicht. Sie haben ein System von 3 isolierten Körpern, sodass Energie erhalten bleibt, und Sie können den Hamilton-Operator des Systems schreiben als:

H = \sum_{ich} \frac{P_{X_{ich}}^{2} + P_{j_{ich}}^{2} + P_{z_{ich}}^{2}}{2 M_{ich}} - \sum_{ich, J > ich} \frac{G M_{ich} M_{J}}{| \vec{R_{ich}} - \vec{R_{J}} |}

$H = \sum_i \frac{p_{x_i}^2+p_{y_i}^2+p_{z_i}^2}{2m_i} - \sum_{i,j>i}\frac{Gm_im_j}{|\vec{r_i}-\vec{r_j}|}$

Beachten Sie, dass die Summe ist $j$ ist mit $j>i$ um zu vermeiden, dass dieselbe Interaktion zweimal gezählt wird. Sie könnten die Bedingung verwenden $i\neq j$ und danach durch 2 dividieren, aber dadurch vermeiden Sie unnötige Iterationen. Es sieht so aus, als ob das Problem immer noch da ist. Beachten Sie jedoch, dass ich als verallgemeinerte Koordinaten einfach die kartesischen Koordinaten jedes Partikels und nicht die Massenschwerpunktpositionen verwendet habe.

Wenden wir nun die Hamilton-Gleichung an. Angenommen, Sie möchten die berechnen $\dot{p}_x$ des Teilchens $k$ . Dann musst du lösen:

{\dot{P}}_{X_{k}} = - \frac{\partial H}{\partial X_{k}} = \frac{\partial}{\partial X_{k}} \sum_{ich, J > ich} \frac{G M_{ich} M_{J}}{| \vec{R_{ich}} - \vec{R_{J}} |} = \sum_{J > k} G M_{ich} M_{J} \frac{\partial}{\partial X_{k}} \frac{1}{| \vec{R_{k}} - \vec{R_{J}} |}

$\dot{p}_{x_k} = -\frac{\partial H}{\partial x_k} = \frac{\partial}{\partial x_k}\sum_{i,j>i}\frac{Gm_im_j}{|\vec{r_i}-\vec{r_j}|} = \sum_{j>k}Gm_im_j\frac{\partial}{\partial x_k}\frac{1}{|\vec{r_k}-\vec{r_j}|}$

Beachten Sie, dass ich im letzten Schritt die Summe in eliminiert habe $i$ , weil wenn $k\neq i$ dann ist die Ableitung 0. Diese letzte Ableitung ist leicht zu berechnen. Sie können sehen, schreiben Sie den Ausdruck von $|\vec{r_k}-\vec{r_j}|$ mit Koordinaten, wie ich in den Kommentaren angegeben habe, dass diese Ableitung ist:

\frac{\partial}{\partial X_{k}} \frac{1}{| \vec{R_{k}} - \vec{R_{J}} |} = \frac{X_{J} - X_{k}}{| \vec{R_{k}} - \vec{R_{J}} |}

$\frac{\partial}{\partial x_k}\frac{1}{|\vec{r_k}-\vec{r_j}|} = \frac{x_j-x_k}{|\vec{r_k}-\vec{r_j}|}$

Diese Ableitung ist einfacher auszuwerten als die, die Sie haben, da sie teilweise in den Koordinaten enthalten ist, aber Sie haben eine vollständige zeitliche Ableitung. Deshalb ist Hamilton in diesem Fall besser. Am Ende haben Sie das folgende Gleichungssystem:

{\dot{P}}_{Q_{ich}} = \sum_{J > ich} G M_{ich} M_{J} \frac{Q_{J} - Q_{ich}}{| \vec{R_{ich}} - \vec{R_{J}} |}

$\dot{p}_{q_i}= \sum_{j>i}Gm_im_j \frac{q_j-q_i}{|\vec{r_i}-\vec{r_j}|}$

{\dot{Q}}_{ich} = \frac{P_{Q_{ich}}}{M}

$\dot{q}_i = \frac{p_{q_i}}{m}$

Mit $q\equiv x,y,z$ . Jetzt müssen Sie nur noch dieses System von Gleichungen 1. Ordnung mit Ihrer bevorzugten Methode (Euler, Runge Kutta usw.) lösen. Beachten Sie, dass die Summen eine beliebige Anzahl von Teilchen sein können $N$ .

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Elio Pereira

Victor Buendía

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