Könnte die Erde verwendet werden, um einen Arago/Poisson-Fleck auf etwas zu werfen

Eine Einschränkung ist die Empfehlung $F=\frac{d^2}{b\lambda}\geq 1$, in diesem Fall mit$d=12700 \mbox{ km}$über den Durchmesser der Erde,$\lambda=600 \mbox{ nm}$einige Wellenlänge des sichtbaren Lichts, und$b$der Abstand zwischen kreisförmigem Hindernis und Beobachter. Der Abstand zwischen Erde und Beobachter sollte daher sein

$b\leq \frac{d^2}{\lambda}=\frac{(12700\cdot10^3\mbox{ m})^2}{600\cdot 10^{-9}\mbox{ m}}=481.67\cdot 10^{18}\mbox{ m}$

Eine weitere Einschränkung ist die Oberflächenrauheit des kreisförmigen Objekts :$\Delta r < \sqrt{r^2 + \lambda\frac{gb}{g+b}}-r$, mit$r=6350\mbox{ km}$der Radius des kreisförmigen Hindernisses (hier Erde),$g$der Abstand zwischen der Punktlichtquelle und dem kreisförmigen Hindernis und$b$der Abstand zwischen dem kreisförmigen Hindernis und dem Bildschirm.

Um Berechnungen zu vereinfachen, sagen wir$g\gg b$. Dann ungefähr$\Delta r < \sqrt{r^2 + \lambda\frac{gb}{g}}-r = \sqrt{r^2 + \lambda b}-r$.

Nach dem Hinzufügen$r$und quadrieren Sie$(\Delta r +r)^2<r^2+\lambda b$. Dies vereinfacht zu$(\Delta r)^2+2r\Delta r<\lambda b$. Übernehmen$\Delta r\ll r$, und vernachlässigen Sie die zweite Ordnung$(\Delta r)^2$bekommen$2r\Delta r<\lambda b$. Teilen durch$\lambda$um eine ungefähre Einschränkung für zu erhalten$b$als

$b>\frac{2r\Delta r}{\lambda}$. Mit$2r=12700 \mbox{ km}$über den Durchmesser der Erde,$\lambda=600 \mbox{ nm}$einige Wellenlänge des sichtbaren Lichts, erhalten wir

$b>\frac{12700\cdot 10^3\mbox{ m}\cdot\Delta r}{600\cdot 10^{-9}\mbox{ m}} = 21.1667\cdot 10^{12}\Delta r$.

Die beiden Einschränkungen ermöglichen vernünftige Werte von$\Delta r$. Nehmen Sie eine Oberflächenrauhigkeit der Erde von z$\Delta r = 1\mbox{ km}$. Dann würde ein gültiger Bereich von Entfernungen von Beobachtern dazwischen liegen$0.00224$und$50912$ Lichtjahre von$9.4607\cdot 10^{15}\mbox{ m}$von der Erde.

In astronomischen Einheiten von $149597870700\mbox{ m}$die engste Entfernung eines Beobachters wäre$141.49 \mbox{ au}$von der Erde.

Aufgrund der Abflachung der Erde würden Sie jedoch eine Punktverteilungsfunktion erhalten, die sich für diese "kurze" Entfernung von der Erde erheblich von einem Punkt unterscheidet. Eventuell lässt sich dies durch eine entsprechende Fernrohroptik korrigieren.

Der Effekt des Gravitationslinseneffekts ist$\theta=\frac{4GM}{rc^2}=2.969\cdot 10^{-27}\frac{\mbox{m}}{\mbox{kg}}\frac{M}{r}$, nach Anwendung der Gravitationskonstante $G$und die Lichtgeschwindigkeit $c$. Mit der Masse$M=5.97237\cdot 10^{24}\mbox{ kg}$und einem Radius von$r=6350000\mbox{ m}$der Erde erhalten wir einen Winkel von$\theta=2.793\cdot 10^{-9}$durch Gravitationslinsen an der Erdoberfläche.

Dies würde parallele Lichtstrahlen auf einen Punkt in der Nähe einer Entfernung von fokussieren$b=\frac{r}{\tan \theta}=130.27\cdot 10^{15}\mbox{ m}$, oder$13.77$Lichtjahre, also weit jenseits der Mindestentfernung, in der sich ein Arago-Fleck bilden könnte. Aber natürlich wäre die innerste Spitze der Punktbildfunktion in dieser größeren Entfernung mit relevantem Gravitationslinseneffekt näher an einer kreisförmigen Scheibe.