Ja absolut!

Sie können so etwas nicht nur tun, sondern tatsächlich wurden Bootsladungen alternativer metrischer Gravitationstheorien vorgeschlagen, sowohl bevor als auch nachdem Einstein mit GR herauskam. Die erste metrische Gravitationstheorie zum Beispiel stammt tatsächlich von Nordström aus dem Jahr 1913 . Lassen Sie uns durchgehen, wie genau die Gleichungen für GR aussehen, und dann können wir uns mit ein paar alternativen Theorien befassen, die dem ähneln könnten, wonach Sie suchen.

Überprüfung der Allgemeinen Relativitätstheorie

GR hat sicherlich einen hervorragenden Ruf, aber hoffentlich kann ich genug der grundlegendsten Konzepte benennen, denen Sie meiner Diskussion folgen können. Nun, die Schlüsselgleichung, die beschreibt, wie sich die Raumzeit in GR entwickelt, ist die Einstein-Feldgleichung:

$$R_{\mu \nu} - \frac{1}{2}g_{\mu \nu}R = 8\pi T_{\mu \nu} - \Lambda g_{\mu \nu}$$

Wo:

• $g_{\mu \nu}$ist die Metrik der Raumzeit, die Informationen darüber codiert, wie sich Entfernungen und Orientierungen ändern, wenn Sie durch die Raumzeit reisen. Der$\mu$Und$\nu$sind ganzzahlige Indizes im Bereich von 0 bis 3 – einer für jede räumliche/zeitliche Dimension. Dieses Objekt hat also tatsächlich 16 Einträge, obwohl sich herausstellt, dass die meisten davon nicht unabhängig sind. Wenn sich die Indizes in der oberen Position befinden, bedeutet dies, dass Sie über die Umkehrung der Metrik im umgekehrten Sinn der Matrix sprechen.
• $R_{\mu \nu}$ist der Ricci-Krümmungstensor, der Informationen über die Krümmung der Raumzeit enthält. Genauer gesagt ist es die Spur des allgemeineren Riemann-Tensors$R_{\alpha \beta \gamma \delta}$:$R_{\alpha \beta} = R^\mu_{\alpha \mu \beta} = R^0_{\alpha 0 \beta} + R^1_{\alpha 1 \beta} + R^2_{\alpha 2 \beta} + R^3_{\alpha 3 \beta}$. Der Riemann-Tensor enthält alle Informationen über die Raumzeitkrümmung und ist mehr oder weniger die zweite Ableitung der Metrik. Beachten Sie die Konvention, dass wiederholte Indizes summiert werden. Die Indizes in der oberen Position werden um die Metrik erhöht:$R^\alpha_{\beta \gamma \delta} = g^{\alpha \mu} R_{\mu \beta \gamma \delta}$.
• $R$ist der Ricci-Skalar, der die Spur des Ricci-Tensors ist:$R=R^\alpha_\alpha$. Im Grunde ist R der einfachste Skalar, der Informationen über die Raumzeitkrümmung gibt , eine Tatsache, auf die wir noch mehrmals zurückkommen werden.
• $T_{\mu \nu}$ist der Spannungsenergietensor, der Auskunft darüber gibt, wie Materie und Energie im Raum verteilt sind.
• $\Lambda$ist die kosmologische Konstante und kann als negative Energiedichte betrachtet werden, die den gesamten Raum durchdringt.

Ich weiß, das ist eine Menge Zeug, an das Sie sich erinnern müssen, wenn Sie das noch nie zuvor gesehen haben, aber selbst wenn Sie nur ein flüchtiges Verständnis dafür haben, was diese Symbole bedeuten, können Sie eine viel aussagekräftigere Diskussion über alternative Gravitationstheorien führen. Die wichtigsten Erkenntnisse daraus sind:

1. Die linke Seite der Gleichung sagt dir etwas über die Krümmung des Raums und die rechte Seite sagt dir etwas über Energie und Materie im Raum, weshalb wir sagen, dass Materie den Raum krümmt.
2. Die Felder, die die Schwerkraft regieren, nämlich$g_{\mu \nu}$und durch Erweiterung$R_{\mu \nu}$, sind reelle Tensoren mit zwei Indizes. Das meinen die Leute, wenn sie sagen, Gravitation sei eine Spin-2-Theorie und ein großer Teil dessen, warum wir so große Probleme haben, sie in die Quantenmechanik zu integrieren. Die in QM verwendeten Renormierungsverfahren passen nicht gut zu Spin-2-Theorien.

Nordströms Gravitationstheorie

Wie ich bereits sagte, schlug Nordström Einstein um 2 Jahre bei der Entwicklung der ersten metrischen Gravitationstheorie. Im Gegensatz zu den Einsteinschen Feldgleichungen wurde Nordströms Theorie durch die beiden Gleichungen bestimmt (unter Verwendung von Einheiten wo$G=c=1$):

$$R=24 \pi T$$ $$C_{\alpha \beta \gamma \delta} =0$$

Hier,$T$ist die Spur des Spannungsenergietensors, und$C_{\alpha \beta \gamma \delta}$ist der Weyl-Tensor, der im Wesentlichen der spurlose Teil des Riemann-Tensors ist, der nicht vom Ricci-Tensor erfasst wird. Die zweite Bedingung ist als konforme Ebenheit bekannt und entspricht der Anforderung, dass die Metrik geschrieben werden kann als

$$g_{\mu\nu} = \phi^2 \eta_{\mu \nu}$$

Wo$\eta_{\mu \nu}$ist die Metrik aus der speziellen Relativitätstheorie, die wir alle kennen und lieben, und$\phi$ist eine von Null verschiedene Skalarfunktion über die gesamte Raumzeit.

Ausgehend von den Einstein-Feldgleichungen können wir sehen, wie schön diese Gleichungen aussehen – es gibt viel weniger Variablen, die auftauchen, und die, die es tun, sind alles Skalare. In dieser Theorie wäre die Gravitation eine Spin-0-Kraft, die sich leichter in QM integrieren lässt. Es erfüllt auch Ihre Bedingungen perfekt - es reduziert sich auf die spezielle Relativitätstheorie in einem leeren Universum und auf die Newtonsche Gravitation in der schwachen Feldgrenze und sagt die gravitative Rotverschiebung richtig voraus.

Wenn es also eine so großartige Theorie ist, warum nennen wir dann nicht alle Leute sarkastisch Nordström, wenn sie sich dumm verhalten? Nun, leider beschreibt es einfach nicht das Universum, in dem wir leben. Es sagt voraus, dass es keinen Gravitationslinseneffekt geben sollte und dass Umlaufbahnen neben anderen Ungenauigkeiten in die falsche Richtung mit der falschen Geschwindigkeit präzedieren sollten. Es ist jedoch eine vollständig konsistente mathematische Theorie, die sich auf das reduziert, was wir für klassische Phänomene erwarten, also wäre es eine großartige Theorie, um ein fiktives Universum zu beschreiben, das Sie aufbauen.

Ein weiterer Ansatz für alternative metrische Theorien der Schwerkraft

Es gibt eine andere Möglichkeit, das zu finden, wonach Sie suchen, wenn Sie mehr Optionen wünschen. Ähnlich wie in der Teilchenphysik und der klassischen Mechanik können wir, anstatt mit den Feldgleichungen zu beginnen, mit einem mathematischen Ausdruck namens Lagrange beginnen und daraus die Feldgleichungen ableiten. Ich werde nicht in die Details gehen, wie das gemacht wird, aber alles, was Sie wirklich wissen müssen, ist, dass so etwas existiert und vollständig bestimmt, wie sich die Theorie verhält. Nun, für die allgemeine Relativitätstheorie ist es die Lagrange-Funktion

$$\mathcal{L} = \frac{1}{16\pi}(R-2\Lambda) + \mathcal{L_M}$$

Wo$\mathcal{L}_M$ist die Lagrangedichte, die andere Materie- und Strahlungsfelder beschreibt. Aus dieser Perspektive können wir also sehen, dass die Allgemeine Relativitätstheorie die einfachste metrische Gravitationstheorie ist, die wir erstellen können, da ihre Wirkung in einem leeren Universum nur der Ricci-Skalar ist$R$, das ist der einfachste Skalar in Bezug auf die Raumzeitkrümmung, den wir konstruieren können.

Wir können jedoch andere Lagrange-Operatoren konstruieren und uns die Theorie ansehen, die sie erstellen – unsere einzige wirkliche Anforderung ist, dass der Lagrange-Operator ein Skalar ist (dh aus Tensor-/Skalar-Größen besteht und keine ungepaarten Indizes hat), damit die Feldgleichungen funktionieren irgendein Bezugsrahmen. So können wir zum Beispiel Lagrangians wie erkunden

$$\mathcal{L} = \frac{1}{16\pi}(R+a\nabla^\mu R \nabla_\mu R -2\Lambda) + \mathcal{L_M}$$

oder

$$\mathcal{L} = \frac{1}{16\pi}(R+bR_{\alpha\beta\gamma\delta}R^{\alpha\beta\gamma\delta} -2\Lambda) + \mathcal{L_M}$$

Wo$a$Und$b$sind Kopplungskonstanten und$\nabla_{\mu}$ist ein tensorialer Operator, der als kovariante Ableitung bekannt ist. Abgesehen davon weiß ich persönlich nicht allzu viel über die Konsequenzen dieser Theorien$a,b \rightarrow 0$Sie werden zu GR, aber es wurden bereits Artikel darüber veröffentlicht, so dass dies ein guter Ort sein könnte, um nachzusehen, ob Sie es schaffen, sie zu analysieren.

Nun, Sie würden die allgemeine Relativitätstheorie verwenden, wenn Sie wirklich wollten. Aber selbst in einem gekrümmten Universum in den wirklich winzigen Teilen von Raum und Zeit gäbe es keine Krümmung, obwohl das gesamte Universum gekrümmt ist. Die spezielle Relativitätstheorie könnte also verwendet werden, solange sie nicht über große Entfernungen verwendet wird.

Darüber, dass das Universum selbstkonsistent ist, gut sortiert, aber irgendwie nicht. Die Gesetze der Physik werden die gleichen sein, ja, aber die Art und Weise, wie Sie die Gesetze der Physik anwenden, wird sich ändern, je nachdem, wo Sie sich im Weltraum befinden. In kürzeren Regionen des Weltraums würden Sie also die spezielle Relativitätstheorie verwenden, aber über große Entfernungen oder Bereiche des Weltraums in Ihrem Universum würden Sie die allgemeine Relativitätstheorie verwenden.