Korrelation und Filterung

Wie würde die Autokorrelation von weißem Rauschen aussehen? Wenn ich mich nicht irre, sollte es bei t = 0 wie eine Deltafunktion aussehen, da bei allen anderen Werten überhaupt keine Korrelation besteht. Ist das richtig?

Das ist richtig. Wenn Sie die Autokorrelation aus Stichproben berechnen, die über einen nicht unendlichen Zeitraum genommen wurden, ist der Mittelwert natürlich 0$t \ne 0$, aber es wird ein Rauschen in der Ausgabe geben.

Was ist, wenn dies zu einem Signal hinzugefügt wird? Angenommen, Sie haben eine Sinuswelle und fügen weißes Rauschen hinzu. Was würde passieren, wenn Sie dieses Signal autokorrelieren? Würde das Geräusch verschwinden oder würde es einfach gleich bleiben oder was?

Ich bin mir dessen nicht 100% sicher, aber ich glaube, dass die Autokorrelation ein linearer Prozess ist. Sie würden also eine Ausgabe erhalten, die die Summe der Autokorrelationen des Rauschens und der Sinuswelle einzeln genommen ist. Dies wäre ein Delta bei t = 0 aufgrund des Rauschens plus a$\pi/2$verschobene Sinuswelle aufgrund der Sinuskurve.

Auch hier würde es Artefakte geben, wenn Sie nicht über eine unendliche Spanne von Samples verfügen, aus denen Sie rechnen können.

Und was wäre, wenn Sie einfach ein weißes Rauschsignal mit einer Sinuskurve kreuzkorrelieren würden. Wäre die Korrelation immer Null? Wie wird die Phase beeinflusst?

Die Kreuzkorrelation wäre Null.

Ich bin mir nicht sicher, was du mit der Phase meinst. Was ist die Nullphase?

Wie wird weißes Rauschen durch Korrelation entfernt? Ich weiß, dass dies eine weit gefasste Frage ist, aber ich versuche nur, ein grundlegendes Verständnis dafür zu erlangen.

In einem einfachen Beispiel: Wenn Sie 10 Sekunden Audio aufgenommen und über ein verrauschtes Medium übertragen (oder weißes Rauschen hinzugefügt haben), kann das empfangene Audio sehr undeutlich und für Ihre Ohren schwierig werden, die Wörter zu verstehen. Wenn Sie dasselbe Audio-Sample zweimal übertragen (und jedes Mal durch "unterschiedliches" weißes Rauschen beschädigt werden), würden Sie am Ende zwei Versionen von fast demselben Ding erhalten.

Beide empfangenen Nachrichten wären einzeln schwer zu entziffern, aber wenn Sie sie mathematisch addieren, beginnt die Magie zu geschehen. Natürlich würde sich die Amplitude des gewünschten Audioteils der Nachricht verdoppeln, sodass das gewünschte Signal um 6 dB ansteigt, aber das Rauschen (weil es im Grunde zufällig ist) würde wie folgt hinzugefügt: -

Gesamtrauschen =$\sqrt{A_{NOISE}^2 + B_{NOISE}^2}$und dies ist nur eine RMS-Erhöhung von 3 dB.

Das Endergebnis ist eine Erhöhung des Signal-Rausch-Verhältnisses um 3 dB. Wenn Sie vier Samples desselben Audios übertragen, würden Sie zwei Paare zusammenfügen und jedes würde eine 3-dB-SNR-Steigerung ergeben, und dann würden Sie die beiden Summen addieren, um weitere 3 dB zu erhalten.

Es ist ein einfaches Beispiel dafür, wie Rauschen entfernt werden kann.

Spaß, OK, theoretisch ist die Autokorrelation von weißem Rauschen eine Delta-Funktion. Aber in der Praxis wird das Rauschen immer eine endliche Bandbreite haben (Bei einer ausreichend hohen Frequenz wird dies durch Planks Konstante festgelegt, die sogenannte ultraviolette Katastrophe der Schwarzkörperstrahlung, aber wir erreichen diese Höhe selten mit der Elektronik.) und die Breite von die Autokorrelationsfunktion wird durch die Bandbreite des Rauschens bestimmt. Jetzt ist die Summe aus einer Sinuswelle und Rauschen, wie The Photon sagte. Ein Delta und ein Sinus.

Die Kreuzkorrelation eines Sinus und des Rauschens geht im Durchschnitt auf Null, aber kurzfristig sagt es etwas über das Rauschen bei dieser Frequenz und Phase aus. (damals.) (Ich denke an Kreuzkorrelation als Multiplizieren, also wenn ich einen Sinus mit Rauschen multipliziere, was bekomme ich?)

Hier ist eine unterhaltsame Möglichkeit, die Autokorrelationsfunktion zu sehen, wenn Sie ein digitales Oszilloskop haben.
1.) Holen Sie sich ein Rauschsignal

2.) Erhöhen Sie es so, dass es die Oszilloskopanzeige ausfüllt. (geht aber nicht vom Bildschirm)

3.) Stellen Sie den Trigger auf Normal und triggern Sie ganz oben im Rauschen. (Die Spitze ist etwas schwer zu definieren, da es Rauschen ist, aber sagen wir mal, das Oszilloskop löst mehrmals pro Sekunde aus.)

4.) Stellen Sie nun den Bereich auf Durchschnitt, mit der maximalen Anzahl von Spuren. Was Sie sehen, ist die Autokorrelationsfunktion* des Rauschens. (Wenn Interesse besteht, kann ich Scope-Aufnahmen posten.)

*OK für die Puristen, das ist nicht wirklich die Autokorrelationsfunktion. Wir nennen es die qacf (Quasi-Auto-Korrelationsfunktion) und ich denke, andere würden es eine bedingte Korrelation nennen. (Weil es die Korrelation unter bestimmten Bedingungen betrachtet, als ob die Oszilloskop-Spur angestiegen ist und die Triggerschwelle überschritten hat.) Trotzdem finde ich, dass dies ein leistungsstarker Oszilloskop-Trick ist, um die Bandbreite von Rauschen zu finden. Und um zu sehen, ob es irgendwelche korrelierten Interferenzen in meinem Signal gibt.

Bearbeiten: Ich wollte nur hinzufügen, dass die Kreuzkorrelation eng mit der synchronen (Lockin-) Erkennung zusammenhängt. Das Multiplizieren eines Rauschsignals und einer Sinuswelle ist ein Lockin ohne Signal am Eingang.