LC-Schaltung mit Reihendiode (Ermitteln des linearen Mittelwerts)

Ich habe die folgende Serien-LC-Schaltung :

Finden Sie den (linearen) Durchschnitt des Stroms durch die Diode . Das Ideal ist eine ideale Komponente. Die Anfangsbedingungen in der Schaltung sind gleich Null.

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MEINE ARBEIT

Ich habe zuerst die Diode kurzgeschlossen (so tun, als wäre die ideale Diode nicht im Stromkreis). Mit dem Faradayschen Gesetz kann ich schreiben:

$$\text{V}_{\space\text{in}}\left(t\right)+\text{V}_{\space\text{C}}\left(t\right)=-\text{L}\cdot\text{I}_{\space\text{in}}'\left(t\right)\tag1$$

Mittlerweile weiß ich das auch$\text{V}_{\space\text{in}}\left(t\right)=\sin\left(2\pi\cdot t\right)$,$\text{I}_{\space\text{C}}\left(t\right)=\text{V}_{\space\text{C}}'\left(t\right)\cdot\text{C}$Und$\text{I}_{\space\text{C}}\left(t\right)=\text{I}_{\space\text{in}}\left(t\right)$. Wo$\text{L}$ist der Induktorwert (in Henry) und$\text{C}$ist der Kondensatorwert (in Farad).

Also ich kann auch schreiben:

$$\begin{cases} \frac{\text{d}}{\text{d}t}\left(\sin\left(2\pi\cdot t\right)\right)+\text{I}_{\space\text{in}}\left(t\right)\cdot\frac{1}{\text{C}}=-\text{L}\cdot\text{I}_{\space\text{in}}''\left(t\right)\\ \\ \text{I}_{\space\text{in}}\left(0\right)=0\\ \\ \text{I}_{\space\text{in}}'\left(t\right)=0 \end{cases}\tag2$$

Was gibt:

$$\text{I}_{\space\text{in}}\left(t\right)=\frac{2\pi\cdot\text{C}\cdot\left(\cos\left(2\pi\cdot t\right)-\cos\left(\frac{t}{\sqrt{\text{C}\cdot\text{L}}}\right)\right)}{4\pi^2\cdot\text{C}\cdot\text{L}-1}\tag3$$

Mit den angegebenen Werten:

$$\text{I}_{\space\text{in}}\left(t\right)=\frac{6\pi\cdot\left(\cos\left(2\pi\cdot t\right)-\cos\left(\frac{t}{\sqrt{3}}\right)\right)}{12\pi^2-1}\tag4$$

Plotfunktion$\left(4\right)$, gibt:

(Ich habe Mathematica verwendet, um das Diagramm zu erstellen)

Jetzt stecke ich die Diode wieder in den Stromkreis und sie wird jeden negativen Teil des Stroms abschneiden. Somit wird jeder negative Teil des Stroms zu Null und nur die positiven Teile des Stroms fließen in der Schaltung.

Um den (linearen) Durchschnitt zu finden, muss ich Folgendes finden:

$$\overline{\text{I}}_{\space\text{D}}=\overline{\text{I}}_{\space\text{in}}=\lim_{\text{n}\to\infty}\frac{1}{\text{n}}\int_0^\text{n}\text{I}_{\space\text{D}}\left(t\right)\space\text{d}t\tag5$$

Wo$\text{I}_{\space\text{D}}\left(t\right)$ist der Eingangsstrom ($\text{I}_{\space\text{in}}\left(t\right)$) mit allen negativen Teilen blockiert.

Jetzt habe ich versucht, die Werte für zu finden$t$Wenn$\text{I}_{\space\text{in}}\left(t\right)$gleich Null:

$$\text{I}_{\space\text{in}}\left(t\right)=\frac{6\pi\cdot\left(\cos\left(2\pi\cdot t\right)-\cos\left(\frac{t}{\sqrt{3}}\right)\right)}{12\pi^2-1}=0\space\Longleftrightarrow\space t=\frac{6\pi\cdot\text{k}}{\sqrt{3}\pm6\pi}\tag6$$

Wo$\text{k}\in\mathbb{Z}$

Ab jetzt weiß ich nicht mehr weiter.