Leichter-als-Luft-Brücke II: Angebundene Gondeln

Ein selbsttragendes Kabel mit konstanter Dichte bildet eine als Oberleitung bekannte Kurve , die einer Parabel nahe kommt. (Tatsächlich entsteht eine Parabel, wenn das Gewicht wie bei einer Hängebrücke gleichmäßig horizontal verteilt wird, anstatt gleichmäßig entlang des Kabels.)

Ich werde nicht auf die ganze Mechanik eingehen, aber es gibt zwei wichtige Gleichungen, die wir brauchen. Zunächst wird die Form der Oberleitung beschrieben durch:

$$y=a\left[\cosh\left(\frac x a\right)-1\right]$$

Woher$a$ist eine charakteristische Länge. Wir können die Spannung beschreiben$T$im Kabel als:

$$T=\lambda ga\cosh\left(\frac x a\right)=\lambda g(y+a)$$

Woher$\lambda$ist die Masse des Kabels pro Längeneinheit, und$g$ist die Erdbeschleunigung.

Alles, was wir wissen müssen, ist, wie breit die Spannweite ist und wie stark das Kabel durchhängt. Im besten Fall darf das Kabel bis zum Grund der Schlucht durchhängen; wir können dies als Untergrenze für die erforderliche Materialfestigkeit verwenden.

Vorausgesetzt, dass$y=800~\text{m}$und$x=2.5~\text{km}$(und implizit$g=9.8~\text{m}/\text{s}^2$), wir bekommen:

$$a = 4.03~\text{km} \\ \frac T \lambda = 47\,400~\text{m}^2/\text{s}^2=47.4~\text{kN}\cdot\text{m}/\text{kg}$$

Das Verhältnis$T/\lambda$ist die erforderliche spezifische Festigkeit unseres Brückenmaterials (ich verwende das Symbol$\varsigma$um es zu bezeichnen). Das sieht zunächst ganz gut aus, da Stahl eine Stärke von etwa hat$250~\text{kN}\cdot\text{m}/\text{kg}$. Dies gilt jedoch nicht für die gesamte Brücke, sondern nur für die Kabel.

Wir können den Nutzlastanteil herausfinden$\zeta$(der Bruchteil des Gewichts unserer Brücke, der kein Kabel ist) mit dieser Formel:

$$\zeta = 1-\text{SF}\times\frac{\varsigma_\text{requirement}}{\varsigma_\text{material}}$$

Notiz$\text{SF}$, der Sicherheitsfaktor . Es stellt sicher, dass wir etwas Spielraum haben, damit wir nicht bei der geringsten Berührung auseinanderfallen. Basierend auf einigen schnellen Recherchen liegen typische tatsächliche Sicherheitsfaktoren für Brücken bei etwa 4, aber ich verwende einen Design-SF von 5. Der maximale Nutzlastanteil für Stahlkabel über dieser Schlucht ist daher

$$\zeta = 1-5\times\frac{47~\text{kN}\cdot\text{m}/\text{kg}}{250~\text{kN}\cdot\text{m}/\text{kg}}=6.3\%$$

Das bedeutet, dass so ziemlich das gesamte Gewicht der Brücke für das/die tragende(n) Kabel aufgewendet werden muss.

Das Zeichnen der Form der Brücke zeigt ein weiteres Problem: Die Steigung an den Enden ist ziemlich steil.

Unter der Annahme eines "vernünftigeren" Wertes für den Durchhang von$125~\text{m}$(erhalten durch Begrenzung der Steigung an den Enden auf 10%) ergibt eine Form wie diese:

Das ist wahrscheinlich eher das, was Sie im Sinn hatten. Um jedoch die Brücke zu heben, müssen wir die Spannung erhöhen. Die Zahlen, die wir jetzt bekommen, sind:

$$a = 25~\text{km} \\ \varsigma = 247~\text{kN}\cdot\text{m}/\text{kg} \\ \zeta_\text{steel} < 0$$

Die erforderliche Festigkeit entspricht gerade noch der Grenzfestigkeit eines Stahlseils. Während sich ein Stahlseil selbst tragen könnte, würde es dies nur knapp tun. Jede Kerbe im Kabel oder ein starker Windstoß, und es würde reißen.

Kevlar hat jedoch das 10-fache des Festigkeits-Gewichts-Verhältnisses von Stahl und ist kein unplausibles Material: Es ist ein künstliches Polymer, und gängige Produktionsprozesse können Stränge unbegrenzter Länge spinnen. Sie könnten das Kabel auf die gleiche Weise verlegen wie die Stahlkabel für die Golden Gate Bridge, aber die Kevlar-Stränge drehen, während Sie gehen.

$$\varsigma_\text{Kevlar} = 2514~\text{kN}\cdot\text{m}/\text{kg} \\ \zeta_\text{Kevlar} = 51\%$$

Bei einem konservativen Sicherheitsfaktor sollte das Gesamtgewicht von Brücke, Autos und Passagieren/Fracht nicht mehr als das der Kabel selbst betragen. Ich würde eine dünne, aerodynamische, flexible Verbundhülle vorschlagen, die die Kabel und Straßenbahnwagen umgibt, um die lebenden Lasten durch den Wind gering zu halten und die Kabel im richtigen Abstand zu halten. Sie könnten kein hartes, starres Deck wie moderne Brücken haben, also stellen Sie es sich wie eine High-Tech-Hängebrücke vor.

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Was die Ballons betrifft, vermute ich, dass sie im Wesentlichen wie moderne Luftschiffe sind, aber an die Brücke gebunden sind, damit sie sich einfach selbst mitziehen können. Dies ist zwar energieeffizienter, aber nicht viel schneller, da Sie die Brücke nicht zu stark belasten möchten. Außerdem müssen Sie den Ballons immer noch Manövrierfähigkeiten geben, um einander auszuweichen, wenn sie in entgegengesetzte Richtungen fliegen (oder zwei parallele Brücken bauen, die ein paar hundert Meter voneinander entfernt sind). Wenn Sie kein hohes Volumen oder hohe Geschwindigkeit benötigen, wird die Brücke nicht wirklich viel zu den Ballons beitragen, die von sich aus als Luftfähren fungieren.

Also ja, eine solche Brücke ist möglich, solange Sie fortschrittliche Materialien verwenden können (und darauf achten, aeroelastisches Flattern zu vermeiden !).