Lichtgeschwindigkeit im Gravitationsfeld?

Dies ist eine weitaus kompliziertere Frage, als Ihnen (wahrscheinlich) bewusst ist, da ihre Beantwortung ein Verständnis der Allgemeinen Relativitätstheorie erfordert.

In GR ist die Lichtgeschwindigkeit ortsinvariant, dh wenn Sie die Lichtgeschwindigkeit an Ihrem Standort messen, erhalten Sie immer den Wert$c$. Wenn Sie jedoch die Lichtgeschwindigkeit an einem entfernten Ort messen, stellen Sie möglicherweise fest, dass sie kleiner als ist$c$. Das offensichtliche Beispiel dafür ist ein Schwarzes Loch, bei dem die Lichtgeschwindigkeit abnimmt, wenn es sich dem Ereignishorizont nähert, und sich am Ereignishorizont tatsächlich auf Null verlangsamt.

Der Grund, warum wir die Lichtgeschwindigkeit an einem entfernten Ort messen können, ist kleiner als$c$liegt daran, dass die Raumzeit, wie Alexo in seiner Antwort sagt, durch Masse / Energie gekrümmt wird. Die Koordinaten, die Sie zur Messung der Raumzeit verwenden, stimmen nicht mit den Koordinaten überein, die ein entfernter Beobachter verwendet, und deshalb messen Sie beide unterschiedliche Werte für die Lichtgeschwindigkeit. Um die Lichtgeschwindigkeit an einem entfernten Punkt zu berechnen, müssen Sie Einsteins Gleichungen lösen , um herauszufinden, wie sich die Raumzeit relativ zu Ihrem Koordinatensystem krümmt.

Um dies zu zeigen, nehmen wir ein Beispiel. Wenn Sie die Einstein-Gleichungen für eine kugelsymmetrische Masse lösen, erhalten Sie die Schwarzschild-Metrik :

In dieser Gleichung$r$ist die Entfernung zum Schwarzen Loch (der Radius) und$t$ist Zeit (was Sie auf Ihrer Armbanduhr messen).$\theta$und$\phi$sind im Grunde Längen- und Breitengradmessungen. Die Quantität$\mbox{d}s$wird als Intervall bezeichnet .$r_s$ist der Radius des Ereignishorizonts. Das Koordinatensystem wird streng genommen von einem Beobachter im Unendlichen verwendet, aber es ist eine gute Annäherung, solange Sie sich weit außerhalb des Ereignishorizonts befinden.

Für Lichtstrahlen$\mbox{d}s$ist immer Null, und wir können daraus die Geschwindigkeit des Lichtstrahls berechnen. Nehmen wir der Einfachheit halber einen Strahl, der direkt auf das Schwarze Loch gerichtet ist, sodass Längen- und Breitengrad konstant sind, dh$\mbox{d}\theta$und$\mbox{d} \phi$sind beide Null. Dies vereinfacht die obige Gleichung zu:

Die Lichtgeschwindigkeit,$v$, ist nur die Änderungsrate des Radius mit der Zeit,$\mathrm dr/\mathrm d t$, und wir erhalten dies durch eine schnelle Umordnung:

Die Variation der Lichtgeschwindigkeit mit der Entfernung vom Schwarzen Loch sieht so aus:

Bei großen Entfernungen (groß$r$) die Geschwindigkeit geht gegen 1 (d.h$c$), aber in der Nähe des Schwarzen Lochs nimmt sie ab und fällt am Ereignishorizont auf Null.

Um also die Lichtgeschwindigkeit in Ihrem Koordinatensystem zu berechnen, lösen Sie die Einstein-Gleichungen, um die Metrik zu erhalten$\mbox{d} s$auf Null setzen und die resultierende Gleichung lösen - klingt einfach, ist es aber selten!

Aber, aber, aber, seien Sie sich absolut klar, was Sie berechnen. Alles, was Sie berechnen, ist die Lichtgeschwindigkeit in Ihrem Koordinatensystem, dh das Ergebnis, das Sie erhalten, gilt nur für Sie. Andere Beobachter an anderen Orten werden einen anderen Wert berechnen, und jeder Beobachter wird überall feststellen, dass die lokale Lichtgeschwindigkeit denselben Wert hat$c$.

Die Lichtgeschwindigkeit nimmt in einem Gravitationsfeld nicht zu. Es ist der Raum, der sich biegt, und das Licht folgt dieser Biegung

Wenn wir bedenken, dass eine Sekunde für unseren Kopf etwas kürzer ist als für unsere Füße, zu der wir aufgrund der SI-Definition der Sekunde kommen müssen, dann sind wir gezwungen, die GR-Lösung von John Rennie und Co. Das ist, würde ich vermuten, eine komplizierte, aber gültige Lösung.

Bedenken Sie nun, dass ein Tag für unseren Kopf genau so ein Tag ist wie für unsere Füße, da beide gemeinsam eine Umdrehung des Planeten beginnen und beenden. Wir können dann berechtigterweise eine konstante Zeitrate und eine variable Lichtgeschwindigkeit annehmen, um auf die folgende Lösung zu kommen:

und

Was uns durch Substitution und Streichung von m ergibt

erweitern

[vernachlässigen$(\Delta c) ^ 2$da es normalerweise unbedeutend klein ist]

Wir haben

Das Licht wird nicht von Masse angezogen (zumindest von einer kleinen Masse wie der Erde). Daher gibt es keine Anziehungskraft oder Beschleunigung durch die Erde auf Licht. Daher ist die Geschwindigkeit "c", das ist alles, es besteht keine Notwendigkeit, eine Korrektur daran vorzunehmen.