Bewegt sich Licht in der Nähe eines massiven Körpers wirklich langsamer?

Der einfache Weg zu zeigen, dass die von den Schwarzschild-Koordinaten abgeleitete Geschwindigkeit keine absolute Bedeutung hat, besteht darin, einen Ausdruck für die von einem anderen Beobachter gemessene Geschwindigkeit abzuleiten und zu zeigen, dass sie nicht übereinstimmen. Insbesondere wählen wir einen Schalenbeobachter, dh einen fest schwebenden Beobachter$r$,$\theta$und$\phi$(vermutlich mit irgendeiner Form von Raketenmotor). Wir betrachten wieder einen radialen Lichtstrahl.

Wir werden verwenden$t’$und$r’$für die Zeit- und Radialkoordinaten im Schalenrahmen und$R$für den in Schwarzschildkoordinaten gemessenen radialen Abstand des Schalenbeobachters.

Im Ruhesystem des Schalenbeobachters betrachten wir die infinitesimale Eigenzeit$dt’$. Beim Vergleich mit der Schwarzschild-Metrik finden wir an der Position des Schalenbeobachters:

$$dt’^2 = (1 - r_s/R)dt^2$$

geben uns:

$$\frac{dt’}{dt} = \sqrt{1 – r_s/R} \tag{2}$$

Die Scharfäugigen unter Ihnen werden erkennen, dass dies nur der bekannte Ausdruck für die gravitative Zeitdilatation in der Ferne ist$R$. Ein ähnliches Argument für den infinitesimalen Eigenabstand$dr’$gibt:

$$\frac{dr’}{dr} = \frac{1}{\sqrt{1 – r_s/R}} \tag{3}$$

das ist nur die entsprechende Gleichung für die radiale Dilatation. Mit Gleichung (1) aus der Frage und den Gleichungen (2) und (3) können wir nun die Lichtgeschwindigkeit an der Position des Schalenbeobachters nach der Kettenregel berechnen:

$$\begin{align} \frac{dr’}{dt’} &= \frac{dr}{dt} \frac{dr’}{dr} \frac{dt}{dt’} \\ &= \pm c \left(1 - \frac{r_s}{R}\right) \frac{1}{\sqrt{1 – r_s/R}} \frac{1}{\sqrt{1 – r_s/R}} \\ &= \pm c \end{align}$$

Und da ist unser erstes Ergebnis. Der Hüllenbeobachter misst die Lichtgeschwindigkeit an seinem Standort$c$, und dies ist unabhängig von$R$es gilt also für alle Schalenbeobachter.

Ich muss betonen, dass ich bei dieser Arbeit keine Annahmen gemacht habe. Es ist reine Algebra und lässt keinen Raum für Ausflüchte. Tatsächlich finden die beiden Beobachter unterschiedliche Ergebnisse für die Lichtgeschwindigkeit. Weder ist richtig noch falsch - es zeigt nur, dass die Koordinatenlichtgeschwindigkeit beobachterabhängig und keine absolute Größe ist.

Aber wir können es besser machen. Wir können unsere Analyse erweitern, um die Lichtgeschwindigkeit in den Schalenkoordinaten bei radialen Abständen größer und kleiner als die Schalenentfernung zu finden. Das Argument ist im Wesentlichen das gleiche wie oben, also gebe ich nur das Ergebnis:

$$\frac{dr’}{dt’} = \pm c \frac{1- r_s/r}{1 – r_s/R} \tag{4}$$

Und das sieht aus wie (z$R = 2r_s$):

Wie der Schwarzschild-Beobachter sieht der Schalenbeobachter die Koordinatenlichtgeschwindigkeit fallen, wenn das Licht näher an dem massiven Objekt ist als sie, aber der Schalenbeobachter sieht, dass sich das Licht schneller bewegt als$c$wenn das Licht weiter vom Objekt entfernt ist als sie. Die Muschel und der Schwarzschild-Beobachter einigen sich also nirgendwo auf die Lichtgeschwindigkeit (außer am Ereignishorizont, falls vorhanden), aber beide stimmen darin überein, dass die Lichtgeschwindigkeit an ihrem Standort ist$c$.

Und das bringt es auf den Punkt. Muschelbeobachter sind keine theoretische Fiktion - Sie und ich sind Muschelbeobachter aufgrund unserer konstanten Entfernung vom Erdmittelpunkt und Gleichung (4) gibt die Lichtgeschwindigkeit an, die Sie und ich beobachten würden. Der Punkt ist, dass die Koordinatenlichtgeschwindigkeit vom Beobachter abhängt und keine absolute Bedeutung hat.