Linear unabhängige Vektoren einer Menge

In der folgenden Frage muss ich beweisen, dass die Spannweite einer Menge eine Länge hat k ist im Raum R N . Die Frage lautet wie folgt:

Lassen ( P 1 , . . . , P k ) ⊂ R N , Wo k ≥ N .

Tut S P A N [ ( P 1 , . . . , P k ) ] = R N ? (dh macht das Set ( P 1 , . . . , P k ) enthält N linear unabhängige Vektoren?)

Ich muss zeigen, wie ich dieses Entscheidungsproblem lösen kann, indem ich höchstens löse N Probleme der linearen Programmierung.

Dazu kann ich auch folgendes Ergebnis verwenden:

Lassen Q 1 , . . . , Q N ⊂ R N Grundlage sein für R N . Dann S P A N [ ( P 1 > , . . . , P k ) ] = R N dann und nur dann, wenn Q J ∈ S P A N [ ( P 1 , . . . , P k ) ] für jede J = 1 , . . . , N .

Mein Denken für diese Frage ist, zu zeigen, dass die Menge ( P 1 , . . . , P k ) hat den vollen Zeilenrang (wobei die Anzahl der Zeilen ist N ), was wiederum bedeutet, dass die Spannweite von ( P 1 , . . . , P k ) ist gleich R N und das Set enthält N linear unabhängige Vektoren.

Gibt es eine Möglichkeit, dies zu beweisen?

Die Antwort ist ein klares NEIN. Nehmen P ich = ich P (Falls Sie damit nicht zufrieden sind P ich = 0 für alle ich )
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Antworten (1)

Sie wollen prüfen ich = 1 , … , N , ob

e ich = ∑ P ich X ich
hat eine Lösung. Dies ist ein Machbarkeitsproblem.

Wenn die Antwort auf alle Ja ist, dann enthält es N linear unabhängiger Vektor.

Was wäre die Variable X ich in diesem Fall darstellen?
Die Entscheidungsvariablen, nach denen Sie auflösen möchten. Die Koeffizienten, die das beweisen würden e ich innerhalb der Spanne liegt, wenn dies der Fall ist.
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