Lösen der Young-Laplace-Gleichung für beliebige axialsymmetrische Geometrie

Angenommen, ich habe eine nicht ellipsenförmige Seifenblase und möchte den Druck im Innenlappen dieser Blase hier numerisch analysieren:

Die Young-Laplace-Gleichung gibt die Druckdifferenz über eine Fluidgrenzfläche als Funktion der Krümmungen an. Ich habe eine Reihe von Punkten im 2D-Raum (Achsensymmetrie wird angenommen) für den inneren Lappen.

Wie kann ich die Nettokraft erhalten, die aufgrund des Young-Laplace-Druckgradienten über die gesamte Innenlappenoberfläche wirkt? Dies wäre einfach, wenn die Keule selbst ungefähr ellipsenförmig wäre - dann gibt es nur zwei Hauptkrümmungsradien, und der Druckgradient folgt von dort.

Aber was wäre, wenn ich eine komplexere Form für den Innenlappen hätte, die nicht ellipsenförmig wäre? Versuche ich, die Form in viele Ellipsen zu zerlegen, so unwahrscheinlich das auch klingen mag?

Sie können die Krümmung einer solchen Oberfläche berechnen, wenn Sie eine gute Beschreibung davon kennen. Was stimmt damit nicht? Und es gibt immer zwei Hauptkrümmungen...

Antworten (2)

Die Berechnung des Laplace-Drucks für eine gegebene Oberfläche erfordert ein wenig Mathematik, ist aber nicht besonders schwierig. Für die Krümmung in kartesischen Koordinaten erhalten Sie das folgende Monster einer nichtlinearen partiellen Differentialgleichung zweiter Ordnung:

Δ P γ = ( 1 R 1 + 1 R 2 ) = ∂ X X z [ 1 + ( ∂ j z ) 2 ] − 2 ( ∂ X z ) ( ∂ X z ) ( ∂ X j z ) + ∂ j j z [ 1 + ( ∂ X z ) 2 ] [ 1 + ( ∂ X z ) 2 + ( ∂ j z ) 2 ] 3 / 2

Als PDE mit Randbedingungen ist diese Sache sehr schwer zu lösen, aber wenn Sie eine gegebene Oberfläche haben, dh z ( X , j ) es sollte einfach sein, den Laplace-Druck für jede gegebene Position zu berechnen ( X , j ) auf dieser Oberfläche.

Wenn Sie an einigen Vereinfachungen dieser Gleichung (z. B. 2D) interessiert sind, lesen Sie die Seiten 27 und folgende dieses Dokuments zu Kapillarität und Benetzung . Es stammt aus einem Graduiertenkurs zu diesem Thema.

Sie haben immer eine lokale Krümmung für Ihre 2D-Kurve. Aus den Koordinaten benachbarter Punkte des diskretisierten Gebiets können Sie diese Krümmung berechnen .

Der zweite Krümmungsradius kann erhalten werden, indem der Abstand zur Achse auf irgendeine Weise verwendet wird. (Der von Ihnen bereitgestellte Link gibt einige Hinweise dazu)

Aber Sie müssen vorsichtig sein, wenn Sie den Druck innerhalb der Blase bestimmen. Das Problem, das Sie studieren, ist kein stationärer Zustand. Sie werden sehen, dass es innerhalb der Blase Druckunterschiede gibt, die die Blase schließlich in einen kugelförmigen Zustand zwingen.

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