Wie lauten die Bewegungsgleichungen eines Lochs in einer Seifenblase?

Stellen Sie sich folgende Situation vor: Ich habe einen dünnen stationären Wasserfilm, ähnlich einer Seifenblase, der in einem großen Ring schwebt. Ich werfe eine kleine Schnurschlaufe auf die Folie und stanze ein Loch hinein. Wie kann ich die Bewegung des Lochs im Wasserfilm beschreiben, der durch die Schnurschleife begrenzt wird? Die Oberflächenspannung des umgebenden Films neigt dazu, das Verhältnis zwischen der Länge der Grenze und dem Umfang zu minimieren, sodass das Loch scheibenförmig wird. Wenn außerdem das Gewicht der Schnur, die das Loch begrenzt, kleiner ist als das Gewicht eines Wasserfilms mit der durch die Innenseite von zwei gegebenen Oberfläche, dann ist die effektive Masse des Lochs negativ, dh wenn der Film a unterliegt Gravitationsfeld, dann bewegt sich das Loch tendenziell nach oben.

Wie kann man ein solches System richtig beschreiben? Wie kann ich seine Bewegungsgleichungen herleiten?

Fantastische Frage. Ich habe allerdings keine Ahnung, wie ich anfangen soll. Ich werde gespannt auf eine Antwort warten: Ich vermute, dass eine kommen wird - ich weiß, dass die Mathematikabteilung der australischen nationalen Universität auf diesem Gebiet aktiv war, als ich dort studierte, und es scheint, dass sie es immer noch ist

Antworten (1)

Lassen Sie den großen Ring vertikal platziert werden. Betrachten Sie der Einfachheit halber eine schwerelose Schnur, deren Dicke gleich der Filmdicke ist. Nehmen Sie außerdem an, dass das Loch ziemlich weit von der Kante des Rings entfernt ist, damit wir die Oberflächenphänomene des Films ignorieren können. Dann lässt sich die Geschwindigkeit des aufsteigenden Lochs wie folgt abschätzen:

Die auf das Loch wirkende Auftriebskraft:

F b = ρ g v = ρ g π R 2 h
wo ρ ist die Dichte von Wasser, g ist die Erdbeschleunigung, R ist der Radius des Lochs und h ist die Dicke des Films.

Als nächstes brauchen wir eine Formel für den Widerstand am beweglichen Loch . Wir können eine Formel für einen unendlichen Zylinder verwenden, der sich langsam in einer Flüssigkeit senkrecht zu seiner Achse bewegt:

F d = 4 π η v ln ⁡ 3.7 v R v
wo η ist dynamische Viskosität und v ist die kinematische Viskosität von Wasser.

Dies ist der Luftwiderstand pro Längeneinheit des Zylinders. Die Herleitung der Formel ist beispielsweise angegeben in: H.Lamb, Hydrodynamics .

Wenn wir nun die Auftriebskraft und die Widerstandskraft gleichsetzen, erhalten wir eine Gleichung für die steigende Geschwindigkeit v des Lochs:

g R 2 = 4 v v ln ⁡ 3.7 v R v
Hier haben wir die Formel verwendet v = η ρ . Dies ist eine transzendente Gleichung.

Um eine Schätzung zu erhalten, verwenden wir v = 0,01 c m 2 s bei 20 ∘ C und g = 1000 c m s 2 . Lassen Sie uns eine neue Variable einführen x = 3.7 v R v . Dann kann die Gleichung wie folgt geschrieben werden:

x ln ⁡ x = 14.8 v 2 g R 3
Jetzt haben wir das gesehen x ≈ 1 gilt für alle reellen Werte für den Radius des Lochs R . Das heißt, wir erhalten eine einfache Schätzung für v :

v = 3.7 v R
Zum Beispiel ein Loch mit Radius R = 1 c m bewegt sich mit Geschwindigkeit nach oben v = 0,037 c m s ≈ 0,4 m m s

@UwF Dies ist nur eine Annäherung, um eine Größenordnung zu erhalten. Das bedeutet, dass die Schätzung ungefähr innerhalb eines Faktors von 10 liegt. x > 1 nicht x = 1 , aber ganz in der Nähe 1 .
@UwF Die Widerstandsformel gilt nur bei kleinen Reynolds-Zahlen, dh im laminaren Strömungsbereich. Per Definition Reynolds-Zahl: R e = R v v = 3.7 x Also x = 3.7 R e . Die Strömung ist laminar, wenn R e < 2300 . Im gegebenen Fall x ≈ 1 oder R e ≈ 3.7 Die Strömung ist also laminar und die Widerstandsformel gilt. Sie können den Wert von nicht auswählen x willkürlich muss es die transzendente Gleichung erfüllen. Beachten Sie, dass x ⩽ 1 erfüllt diese Gleichung überhaupt nicht.
Wie lauten die Bewegungsgleichungen eines Lochs in einer Seifenblase?
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