Lösung der Wellengleichung [geschlossen]

Ich beschäftige mich mit der Lösung der Wellengleichung in zwei verschiedenen Fällen, die in der Abbildung durch Fall A und Fall B dargestellt sind. Die beiden Abbildungen wurden erhalten, indem eine Platte mit einer von rechts (Fall A) und von links (Fall A) einfallenden Welle bestrahlt wurde ( Fall B). Ich habe die Lösung für Fall A überprüft. Sie scheint richtig zu sein. Daher habe ich die gleiche Methode verwendet, um die Lösung für Fall B abzuleiten. Ich vermute jedoch, dass die Lösung für Fall B falsch ist, auch wenn ich nicht verstehen kann, warum. Unabhängig vom Richtig/Falsch-Ergebnis der Wellengleichung im Fall B würde ich gerne wissen, ob es eine Möglichkeit gibt, die Lösung der Wellengleichung im Fall B aus der des Falles A abzuleiten, indem man eine Art Symmetrie anwendet. Bitte beachte, dass$\eta(x)$hat nicht notwendigerweise eine Symmetrie in Bezug auf$x$.

Das ist meine Lösung. Gegeben sei die Wellengleichung:

$$\begin{equation} \frac{d^2y(x)}{dx^2}+k^2 \left(1+\eta(x)\right) y(x)=0 \end{equation}$$ Seine Lösung kann mit der Green-Funktionsmethode gefunden werden. Details der Methode werden für Fall B bereitgestellt. Bei Anwendung auf Fall A hat die Wellengleichung die Lösung: $$\begin{equation} y(x)=c_1 e^{-j k x}+c_2 e^{j k x}+\frac{j k}{2} \int_0^Le^{j k |x-t|} \eta(t) y(t) dt \end{equation}$$ Wo $j^2 = -1$Und $c_1$Und $c_2$sind die Integrationskonstante. Um die Konstanten zu bestimmen, müssen wir die Randbedingungen berücksichtigen. Wenn wir uns auf den Fall A in der Abbildung beziehen, ist es möglich, eine einfallende Welle und eine reflektierte Welle auf der rechten Seite und eine übertragene Welle auf der linken Seite zu unterscheiden. In diesem Fall gelten folgende Randbedingungen: $$\begin{align} y(L)=1+R_L\\ y'(L)=-jk(2-y(L))\\ y(0)=T_L\\ y'(0)=-jky(0) \end{align}$$ Durch Anwendung dieser Randbedingung werden dabei die beiden Fälle unterschieden $t-x>0$(links im Bild) und $t-x<0$(rechts im Bild) ist es möglich, eine Differentialgleichung zu finden $T_L$.

Jetzt möchte ich die gleiche Art von Berechnung auf dem zweiten Bild (Fall B) wiederholen. In diesem Bild kommt die einfallende Welle von der linken Seite, während die übertragene Welle von der rechten Seite kommt. Im Fall A hat eine Welle, die sich in der gleichen Richtung der x-Achse ausbreitet, einen positiven Exponentialterm. Ich habe Zweifel bezüglich Abbildung B. In diesem Fall hat eine Welle, die in die gleiche Richtung der x-Achse wandert, eine Abhängigkeit von$-x$. Ist das richtig? Ich nehme an, dass es nur eine Frage der Konventionen ist. Die Randbedingungen für den Fall in Bild B werden natürlich vertauscht:

$$\begin{align} y(0)=1+R_L\\ y'(0)=-jk(2-y(0))\\ y(L)=T_L\\ y'(L)=-jky(L) \end{align}$$ Zum Fall A differenziere ich zunächst die allgemeine Lösung: $$\begin{equation} y'(x)=-jk c_1 e^{-jk x}+jk c_2 e^{+jk x}+\frac{j k}{2} \int_0^L\frac{d}{dx}\left(e^{j k |x-t|} \right) \eta(t) y(t) dt \end{equation}$$ Nun habe ich zwei verschiedene Fälle betrachtet: whel $t-x>0$(links) und $t-x<0$(Rechts). Für $t-x>0$Ich kann schreiben: $$\begin{equation} y'(x)=-jk c_1 e^{-jk x}+jk c_2 e^{+jk x}-jk U(x) \end{equation}$$ Wo $$\begin{equation} U(x)= \int_0^L\frac{d}{dx}\left(e^{-j k (x-t)} \right) \eta(t) y(t) dt \end{equation}$$ Dann $$\begin{equation} y'(x)=-jk \left( c_1 e^{-jk x}- c_2 e^{+jk x} + U(x) \right) \end{equation}$$ Während wenn $t-x<0$Ich habe: $$\begin{equation} y'(x)=-jk \left( c_1 e^{-jk x}- c_2 e^{+jk x}- K(x) \right) \end{equation}$$ Wo $$\begin{equation} K(x)= \int_0^L\frac{d}{dx}\left(e^{j k (x-t)} \right) \eta(t) y(t) dt \end{equation}$$ Die Randbedingungen für in $x=0$dem Fall entsprechen $t-x>0$, während die Randbedingungen in $x=L$dem Fall entsprechen $t-x>0$. Für $x=0$wir haben $$\begin{align} y(0)=c_1+c_2+U(0)\\ y'(0)=-jk(c_1-c_2+U(0))\\ \end{align}$$ So dass $c_2=0$. Durch Wiederholung der gleichen Berechnung in $x=L$es ist möglich, das zu bestimmen $c_1=e^{jkL}$. Dann ist die Lösung: $$\begin{equation} y(x)=e^{j k(L- x)}+\frac{j k}{2} \int_0^Le^{j k |x-t|} \eta(t) y(t) dt \end{equation}$$ Nun der Fall in Abbildung B. Hier bin ich mir nicht sicher. Laut Bild $e^{-jkx}$ist die sich vorwärts ausbreitende Welle. Die Green-Funktionen sind für $x>L$: $$\begin{equation} \begin{cases} y_1(x)=C_1 e^{-jkx}\\ y_1(L)=A' \end{cases} \end{equation}$$ Während für $x<0$: $$\begin{equation} \begin{cases} y_2(x)=c_2 e^{jkx}\\ y_2(0)=B' \end{cases} \end{equation}$$ Dann $$\begin{equation} \begin{cases} y_1(L)=c_1 e^{-jkL}=A' & \Rightarrow y_1(x)=A' e^{jk(L-x)}\\ y_2(0)=c_2=B' & \Rightarrow y_2(x)=B' e^{jkx} \end{cases} \end{equation}$$ Der Wronskyaner ist $$\begin{equation} W= \begin{vmatrix} A' e^{jk(L-x)} & B' e^{jkx}\\ -jk A' e^{jk(L-x)} & jk B' e^{jkx}\\ \end{vmatrix} =2 jk A'B' e^{jkL} \end{equation}$$ Damit die Green-Funktion ist $$\begin{equation} G(x,t)= \begin{cases} \frac{A' e^{jk(L-x)} B' e^{jkt}}{2 jk A'B' e^{jkL}}\\ \frac{A' e^{jk(L-t)} B' e^{jkx}}{2 jk A'B' e^{jkL}}\\ \end{cases} \end{equation}$$ Was reduziert sich auf $$\begin{equation} G(x,t)=\frac{1}{2jk} e^{jk|t-x|} \end{equation}$$ Damit ist die Lösung der Differentialgleichung für den Fall in Abbildung B $$\begin{equation} y(x)=c_1 e^{-j k x}+c_2 e^{j k x}+\frac{j k}{2} \int_0^Le^{j k |t-x|} \eta(t) y(t) dt \end{equation}$$