Schnelle Notiz

Laut Wikipedia ist eine Ähnlichkeitslösung eine Form der Skaleninvarianz , so dass im Falle einer Flüssigkeitsströmung die Strömung unabhängig von der Zeit- oder Längenskala gleich "aussieht".

Frage 1

Es steht geschrieben, dass für die Existenz von Ähnlichkeitslösungen die Machzahl konstant sein sollte ... bitte erklären Sie das?

Im Fall von Taylor-Sedov-von Neumann-ähnlichen Lösungen [siehe z. B. Seiten 192–196 in Whitham , 1999] ist der relevante Parameter die Position der Stoßwelle bei$r = R\left( t \right)$, gegeben von:

$$R\left( t \right) = k \left( \frac{ E }{ \rho_{up} } \right)^{1/5} \ t^{2/5} \tag{1}$$ Wo $t$ist die Zeit ab der anfänglichen Freisetzung von Energie $E$aus einer Punktquelle, $\rho_{up}$die Massendichte des umgebenden Gases ist, und $k$ist ein dimensionsloser Parameter, der zur Skalierung verwendet wird. Diese Lösungen basieren auf zwei Annahmen, die wie folgt gegeben sind:

1. Die Explosion resultierte aus einer plötzlichen Freisetzung von Energie$E$von einer Punktquelle und$E$ist der einzige Dimensionsparameter, der durch die Explosion eingeführt wird;
2. die Störung ist so stark, dass der Luft-/Gasdruck und die Schallgeschwindigkeit der Umgebung im Vergleich zur Druckwelle vernachlässigt werden können.

Die zweite Annahme impliziert die starke Schockgrenze, nämlich dass die nachgelagerten Parameter gegeben sind durch (im Schockrahmen):

$$\begin{align} U_{dn} & = \left( \frac{ 2 }{ \gamma + 1 } \right) U_{up} \tag{2a} \\ \rho_{dn} & = \left( \frac{ \gamma + 1 }{ \gamma - 1 } \right) \rho_{up} \tag{2b} \\ P_{dn} & = \left( \frac{ 2 }{ \gamma + 1 } \right) \rho_{up} \ U_{up}^{2} \tag{2c} \end{align}$$ wo tiefgestellt $up$( $dn$) entspricht Upstream(Downstream)-Durchschnitten, $\gamma$ist das Verhältnis der spezifischen Wärmen , $U_{j}$ist die Massenströmungsgeschwindigkeit in der Region $j$(dh, $up$oder $dn$), Und $P_{j}$ist der Druck (hier nur unter Verwendung von Stau- oder Staudruck ) in Region $j$.

Aus Gleichung 1 ist ersichtlich, dass der einzige relevante Parameter der Umgebungsluft/des Umgebungsgases die Dichte ist,$\rho_{up}$. Beachten Sie, dass die Stoßgeschwindigkeit,$U_{up}$, wird dann durch gegeben$dR/dt$(d. h. die zeitliche Ableitung von Gleichung 1) oder:

$$\begin{align} U_{up}\left( t \right) & = \frac{ 2 \ k }{ 5 } \left( \frac{ E }{ \rho_{up} } \right)^{1/5} \ t^{-3/5} \tag{3a} \\ & = \frac{ 2 \ k^{5/2} }{ 5 } \sqrt{ \frac{ E }{ \rho_{up} } } \ R^{-3/2} \tag{3b} \end{align}$$ Da die stromaufwärtige Dichte und der Druck als konstant angenommen werden, ist die stromaufwärtige Schallgeschwindigkeit $C_{s,up}$, muss ebenfalls konstant sein.

Antwort 1: Die Machzahl wäre proportional zur Zeit als$M \propto t^{-3/5} \propto R^{-3/2}$, die nicht konstant ist, sondern unabhängig von zeitlichen oder räumlichen Skalen ausgedrückt werden kann. Über sehr kleine radiale Entfernungen kann man natürlich die Machzahl als ungefähr konstant annähern, aber dies ist in vielen Fällen keine gute Annäherung, es sei denn, der Stoß ist "alt".

Frage 2

und Bitte erläutern Sie, wann es möglich ist, selbstähnliche Strömungen mit variablen Machzahlen zu finden?

Die Selbstähnlichkeit der obigen Beziehungen entsteht, weil es keine unabhängigen Längen- oder Zeitskalen in den Lösungen gibt. Dies liegt daran, dass wir die Gleichungen 2a und 2c nur in Bezug auf umschreiben können$E$Und$R$so dass sie nicht explizit von Länge oder Zeit abhängen. Wir können Gleichung 1 lösen für$t$und verwenden Sie es, um unsere Ausdrücke für Druck und Strömungsgeschwindigkeit umzukehren. Diese Ausdrücke werden wie folgt angegeben:

$$\begin{align} U_{dn} & = \left( \frac{ 4 \ k }{ 5 \left( \gamma + 1 \right) } \right) \left( \frac{ E }{ \rho_{up} } \right)^{1/5} \ t^{-3/5} \tag{4a} \\ & = \left( \frac{ 4 \ k^{5/2} }{ 5 \left( \gamma + 1 \right) } \right) \sqrt{ \frac{ E }{ \rho_{up} } } \ R^{-3/2} \tag{4b} \\ P_{dn} & = \left( \frac{ 8 \ \rho_{up} \ k^{2} }{ 25 \left( \gamma + 1 \right) } \right) \left( \frac{ E }{ \rho_{up} } \right)^{2/5} \ t^{-6/5} \tag{4c} \\ & = \left( \frac{ 8 \ E \ k^{2} }{ 25 \left( \gamma + 1 \right) } \right) R^{-3} \tag{4d} \end{align}$$

So sieht man das$U_{dn}$Und$P_{dn}$sind nur Funktionen (explizit) von$E$Und$R$. Seit$E/\rho_{up}$hat Einheiten von$L^{5}/T^{2}$, können wir einen dimensionslosen Parameter definieren$\zeta = E t^{2}/\rho_{up} r^{5}$dass alle relevanten Parameter (z.$U_{dn}$) muss in irgendeiner Weise davon abhängen, wo$r$ist nur eine radiale Position. Wir können den dimensionslosen Parameter weiter definieren$\xi = r/R\left( t \right) \propto \zeta^{-1/5}$, von dem alle unsere Eigenschaften abhängen müssen.

Antwort 2: Die Machzahl kann variabel sein (dh sie hängt von der radialen Position ab), aber man kann einen Satz von Gleichungen aufstellen, wobei sie nicht explizit von einer Längen- oder Zeitskala abhängt. Ich denke, Sie haben die Konstante möglicherweise mit der Unabhängigkeit von Zeit- und Längenskalen verwechselt.

Frage 3

Bitte teilen Sie mir auch den Bereich der Mach- und Knudsen-Zahlen mit, die im interstellaren Medium anwendbar sind.

Wikipedia hat eine Liste relevanter Parameter für das interstellare Medium (ISM). Sie können die in dieser Antwort gefundenen Ausdrücke verwenden, um relevante Schallgeschwindigkeiten zu bestimmen. Um die Knudsen-Zahl zu bestimmen ,$K_{T}$, können Sie den mittleren freien Weg der Coulomb-Kollision abschätzen und verwenden$L_{T} = \lvert d \ln{T_{e}}/dx \rvert^{-1}$als charakteristische Skalenlänge, wobei$T_{e}$ist die Elektronentemperatur (Sie könnten auch eine Gesamttemperatur verwenden) und$d/dx$ist nur ein eindimensionaler räumlicher Gradient.

Antwort 3: Im Sonnenwind$K_{T}$~ 0,01–10 [z. B. Bale et al. , 2013; Horaites et al. , 2015; Landiet al. , 2014] und$K_{T}$~ 1 für das lokale interstellare Medium oder LISM [zB Baranov , 2009]. Für andere ISM-Regionen ist die Unsicherheit in$K_{T}$groß sein, da sie allein aus elektromagnetischen Strahlungsmessungen gefolgert werden muss, die zahlreiche Annahmen erfordern, um das Spektrum in eine Teilchengeschwindigkeitsverteilung umzukehren.

Die Machzahl im ISM hängt davon ab, in Bezug auf welches Objekt oder welchen Referenzrahmen. Wenn Sie beispielsweise nach der Machzahl der Heliosphäre in Bezug auf die LISM suchen, gibt es zahlreiche Arbeiten zum heliosphärischen Bogenstoß (es wird derzeit tatsächlich diskutiert, ob der Fluss der LISM groß genug ist, um einen Bogen zu erzeugen Schock hier).

Verweise

• Bale, SD, et al. (2013) "Elektronenwärmeleitung im Sonnenwind: Übergang von Spitzer-Härm zur kollisionslosen Grenze", Astrophys. J. Lett. 769 (2), L22, doi:10.1088/2041-8205/769/2/L22.
• Baranov, VB (2009) "Kinetisch-Fluid-Perspektive zur Modellierung der Grenzfläche zwischen heliosphärischen und interstellaren Medien", Space Sci. Rev. 143 , S. 449-464, doi:10.1007/s11214-008-9392-6.
• Horaites, K., et al. (2015) „Selbstähnliche Theorie der Wärmeleitung und Anwendung auf den Sonnenwind“, Phys. Rev. Lett. 114 (24), 5003, doi:10.1103/PhysRevLett.114.245003.
• Landi, S., et al. (2014) "Elektronenwärmefluss im Sonnenwind: Beobachten wir die Kollisionsgrenze in den 1-AE-Daten?", Astrophys. J. Lett. 790 (1), L12, doi:10.1088/2041-8205/790/1/L12.
• Whitham, GB (1999), Lineare und nichtlineare Wellen , New York, NY: John Wiley & Sons, Inc.; ISBN:0-471-35942-4.