Diese Frage betrifft die Beziehung zwischen Photonenabsorption und der räumlichen Mode des Lichts. Bei der Frage habe ich eine gewisse physikalische Intuition, die ich zu verstehen glaube und die durch Experimente entstanden ist, die überall eingestreut sind. Der mathematische Formalismus, mit dem ich mich der vorliegenden Fragestellung zuwenden muss, scheint jedoch nicht in der Lage zu sein, die physikalische Situation zu beschreiben, mit der ich mich befasse, und der Formalismus wirft für mich auch Kausalitätsfragen auf. Aus diesem Grund verbringe ich den größten Teil des Textes in diesem Beitrag damit, den mathematischen Formalismus so darzulegen, wie ich ihn verstehe, in der Hoffnung, ein weiteres Verständnis dieses Formalismus zu erhalten oder auf einen anspruchsvolleren Formalismus hingewiesen zu werden, der meine Bedenken ansprechen kann.

Hintergrund

In der Quantenoptik kann das elektrische Feld quantisiert werden als

$$\hat{\boldsymbol{E}}(\boldsymbol{x}, t) = i\sqrt{\frac{\hbar}{2\epsilon_0 V}} \sum_{\boldsymbol{k}, s}\sqrt{\omega_{\boldsymbol{k}}}\left(\boldsymbol{f}_{\boldsymbol{k}, s}(\boldsymbol{x})\hat{a}_{\boldsymbol{k},s}(t) - \boldsymbol{f}_{\boldsymbol{k}, s}^*(\boldsymbol{x})\hat{a}_{\boldsymbol{k},s}^{\dagger}(t)\right)$$

Fettgedruckte Symbole repräsentieren Vektorgrößen. Das ist eine Gleichung für das quantenelektrische Feld in Raum und Zeit. Wir summieren über alle Wellenvektoren$\boldsymbol{k}$die nach der Helmholtz-Gleichung verwandte zeitliche Frequenzen haben$\omega_{\boldsymbol{k}} = c|\boldsymbol{k}|$.$s$ist ein Polarisationsindex und nimmt die Werte 1 oder 2 an.

$\boldsymbol{f}_{\boldsymbol{k},s}(\boldsymbol{x})$ist eine dimensionslose vektorwertige räumliche Modusfunktion, die durch die Randbedingungen* bestimmt wird. Zum Beispiel häufig, wenn wir die Quantisierung in Volumenboxen betrachten$V$die Modusfunktionen sind gegeben durch

$$\boldsymbol{f}_{\boldsymbol{k}, s}(\boldsymbol{x}) = \boldsymbol{\epsilon}_{\boldsymbol{k},s} e^{i \boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{x}}$$

Hier$\boldsymbol{\epsilon}_s$ist der Polarisationsvektor. Beachten Sie, dass dies nur eine mögliche Wahl für den vollständigen Satz von Moden ist, die sich aus der Lösung der Helmholtz-Gleichung ergeben. Der$\boldsymbol{f}_{\boldsymbol{k},s}(\boldsymbol{x})$könnten beispielsweise auch Hermite-Gauß- oder Laguerre-Gauß-Modi sein, die für dieses Problem hilfreich sein können.

Das Modenvolumen oder Quantisierungsvolumen hängt mit den räumlichen Moden zusammen durch**

$$\int d\boldsymbol{x}\boldsymbol{f}_{\boldsymbol{k}, s}(\boldsymbol{x})\cdot\boldsymbol{f}_{\boldsymbol{k}',s'}^*(\boldsymbol{x}) = \delta_{\boldsymbol{k}\boldsymbol{k}'}\delta_{ss'}V$$

Der$\hat{a}_{\boldsymbol{k},s}(t)$Und$\hat{a}^{\dagger}_{\boldsymbol{k},s}(t)$sind die bosonischen, photonischen Vernichtungs- und Erzeugungsoperatoren. Diese Operatoren beziehen sich auf die Anzahl der Photonen, die eine einzelne Mode besetzen. Wir sehen, dass quantenstatistische Eigenschaften von$\hat{\boldsymbol{E}}$hängen von den quantenstatistischen Eigenschaften der ab$a_{\boldsymbol{k},s}$

Wenn wir die Hüte von diesem Ausdruck entfernen, können wir sehen, dass die$a_{\boldsymbol{k},s}(t)$sind zeitabhängige Koeffizienten der räumlichen Modenzerlegung des elektrischen Feldes. Wenn wir die Hüte wieder einsetzen, sehen wir, dass diese Moduskoeffizienten,$\hat{a}_{\boldsymbol{k},s}(t)$sind jetzt eher Quanten-Zufallsvariablen als feste Amplituden.

Glänzender Laser auf einem Bildschirm

Zunächst ein Gedankenexperiment. Angenommen, wir haben eine Lichtquelle, die beispielsweise einen Gaußschen Strahl*** ausgibt, der auf eine Punktgröße fokussiert wird$w_0$an einem bestimmten Ort. Angenommen, wir sind in der Lage, die Leistung dieser Quelle willkürlich abzustimmen. Nehmen wir zum Zwecke der Argumentation an, dass es kohärente Lichtzustände ausgibt. In einem Modus (hohe Leistung) kann die Ausgabe so abgestimmt werden, dass der kohärente Zustandsfluss aus vielen vielen Photonen pro Sekunde besteht (wie bei einem gewöhnlichen Laser, an den wir denken) oder in einem anderen Modus (niedrige Leistung) kann er so eingestellt werden dass die Ausgabe weniger als ein Photon pro Sekunde beträgt.

In einem Experiment stellen wir einen Bildschirm an die Stelle des Fokus und strahlen den Laserstrahl mit hoher Leistung auf den Bildschirm. Wir werden natürlich einen Punkt auf dem Bildschirm mit einer Gaußschen Form sehen.

In einem anderen Experiment haben wir den Bildschirm an der gleichen Stelle des Fokus platziert, aber wir schalten jetzt den Laser auf niedrige Leistung herunter. Wenn wir nun auf den Bildschirm schauen, sehen wir keinen hell erleuchteten Fleck. Was wir sehen werden, ist, dass wir im Laufe der Zeit kleine Flecken sehen werden, die nacheinander auf dem Bildschirm erscheinen (der zeitliche Abstand zwischen dem Erscheinen der Flecken ist statistisch, hängt jedoch vom Photonenfluss ab). Wenn wir alle Punkte verfolgen, die wir sehen, wird die Verteilung der Punkte im Laufe der Zeit genau so aussehen wie der Gaußsche Punkt, den wir für hohe Leistung hatten.

Diese Art von Geschichte ist denen bekannt, die Youngs Doppelspaltexperiment kennen.

Stellen Sie sich nun vor, wir stellen eine kleine Scheibe vor den Bildschirm, sagen wir ein paar optische Wellenlängen vor den Bildschirm. Im Hochleistungsfall sehen wir nur einen Schatten der Scheibe. Im Low-Power-Fall sehen wir den Schatten der Scheibe, wenn wir uns die Verteilung der hellen Flecken ansehen.

Schatten eines einzelnen Atoms

Stellen Sie sich nun vor, dass wir anstelle einer Scheibe vor dem Bildschirm ein einzelnes Atom platzieren, dessen Übergang mit der Frequenz des Laserstrahls resonant ist. Das Atom kann ein wenig Licht absorbieren und somit einen Schatten werfen. Die Frage geht ungefähr so:

1) Wie sieht der Schatten aus? Eigentlich kenne ich die Antwort auf diese Frage dank Absorption Imaging of Single Atom . Die Antwort ist, dass ein kleiner Schatten der Größe$\approx \lambda \approx 1\text{ $\mu$m}$erscheint auf dem Bildschirm. Beachten Sie, dass$w_0\gg \lambda$.

2) Meine Frage ist, wie beschreibe ich den im Hintergrundabschnitt dargelegten Formalismus?

Wir können die (Dipol)*****-Kopplung zwischen einem Atomlicht der Form betrachten$H = -\boldsymbol{E}\cdot \boldsymbol{d}$und wir werden so etwas sehen

$$\begin{align} \hat{H}_{AF} = \sum_{\boldsymbol{k},s} \hbar g_{\boldsymbol{k},s} \hat{\sigma}^{\dagger}\hat{a}_{\boldsymbol{k},s} + \hbar g_{\boldsymbol{k},s} ^*\hat{\sigma} \hat{a}_{\boldsymbol{k},s}^{\dagger} \end{align}$$

Hier$\hat{\sigma} = |G\rangle\langle E|$ist der atomare Absenkungsoperator, der das Atom vom angeregten in den Grundzustand bringt. Der Kopplungsoperator für jeden Modus ist gegeben durch

$$\begin{align} g_{\boldsymbol{k},s} = \sqrt{\frac{\omega}{2\hbar \epsilon_0 V}}d^{GE}_{\boldsymbol{k},s} \end{align}$$

Hier

$$\begin{align} d^{GE}_{\boldsymbol{k},s} = \langle G|e\boldsymbol{x}\cdot \boldsymbol{\epsilon}_{\boldsymbol{k},s}|E\rangle \end{align}$$

$e$ist die Elektronenladung. Beachten Sie, dass, wenn wir zum Beispiel an betrachten$s\rightarrow p$Beim atomaren Übergang gibt es tatsächlich mehrere angeregte Zustände, was die Kopplung des Atoms an die verschiedenen optischen Moden isotrop macht. Das heißt, die Gesamtkopplung ist für Licht aus allen Richtungen gleich.

Mein Gedanke wäre, dass die Antwort darauf, wie der Schatten gebildet wird, darin besteht, dass das Atom vorzugsweise Moden mit bestimmten Wellenvektoren absorbiert, andere jedoch nicht. Als Ergebnis ist die Modenzerlegung für Licht „nach“ dem Atom anders als die Zerlegung „vor“ dem Atom. Dadurch sieht das optische Feld anders aus, dh es kann einen Schatten enthalten. Die Tatsache, dass die Kopplung isotrop ist, scheint diese Hoffnung jedoch zunichte zu machen.

Die Frage selbst

A) Wenn die Kopplung von Licht an alle räumlichen Moden gleich ist, würde die Wirkung des Atoms auf das Feld dann nicht darin bestehen, die übertragene Amplitude des GESAMTEN optischen Musters um den gleichen Betrag zu unterdrücken? Also das ganze Muster verdunkeln, anstatt einen Schatten zu erzeugen?

B) Natürlich, wenn die Aussage in A richtig ist (ich glaube nicht, dass das stimmt, insbesondere angesichts der oben zitierten Referenz), dann scheint es einige ernsthafte Probleme mit der Lokalität zu geben. Wie kann die Anwesenheit des Atoms in der Mitte des Gaußschen Strahls die durchgelassene Intensität nahe dem Rand des Strahls beeinflussen, wenn sie durch viele, viele Wellenlängen getrennt sind?

C) Diese Art wirft für mich eine allgemeine Frage über die Lokalität von Atom-Licht-Wechselwirkungen auf. So gesehen$\hat{a}_{\boldsymbol{k},s}$ist die Quantenamplitude einer gesamten erweiterten, nichtlokalen räumlichen Mode mit räumlichem Muster$\boldsymbol{f}_{\boldsymbol{k},s}(\boldsymbol{x})$. Wenn ein Photon vom Atom in dieses Feld emittiert oder absorbiert wird, dann scheint es, als würde das Atom in dieser mathematischen Beschreibung etwas höchst Nicht-Lokales tun. Das heißt, das Atom nimmt ein sehr sehr kleines Subwellenlängenvolumen des Feldes ein, aber in dieser mathematischen Beschreibung kann es die Amplitude des Feldes Millionen von Wellenlängen entfernt augenblicklich beeinflussen, indem es ein Photon absorbiert oder emittiert. Gibt es einen anspruchsvolleren mathematischen Formalismus zur Behandlung dieser physikalischen Situation, der diese Probleme klären würde?

Fußnoten

*Randbedingungen werden als endlich angenommen, wie ein großer, aber endlicher Kasten. Ich weiß nicht genau, wie ich meine Frage im Fall des unendlichen Raums behandeln soll, und ich denke, dass dies in der Antwort auf meine Frage impliziert sein könnte.

**Beachten Sie, dass andere Normalisierungen für die Moduslautstärke möglich sind, aber dies ist die, die ich nehme. Beachten Sie, dass in diesem Setup alle Modi die gleiche Moduslautstärke haben.

*** Für das Folgende werde ich, obwohl das Licht ein Gaußscher Modus ist, berücksichtigen$\boldsymbol{f}_{\boldsymbol{k},s}(\boldsymbol{x})$ebene Wellen sein. Das bedeutet, dass das aus dem Laser kommende optische Feld tatsächlich aus vielen ebenen Wellenmoden mit unterschiedlichen Wellenvektoren zusammengesetzt ist. Das heißt, das Feld befindet sich in einer (Quanten-)Überlagerung, in der es viele verschiedene Modi einnimmt.

**** Wie wenig eigentlich? Ich denke im Prinzip so wenig wie alles, was das Licht auf dem Bildschirm absorbiert oder streut, also vielleicht atomare Bedeutung, wegen der Beugungsgrenze würden die Punkte bei der Abbildung so erscheinen, als hätten sie etwa die Größe einer optischen Wellenlänge.$\lambda$.

***** Ich frage mich, ob ein Teil der Antwort auf meine Frage mit Multipol-Kopplungstermen höherer Ordnung zu tun hat? Ich glaube nicht. Wir können annehmen, dass es keine nahegelegenen Übergänge mit den entsprechenden Auswahlregeln gibt, so dass diese Kopplungen höherer Ordnung keine Rolle spielen.