Momentane Coulomb-Wechselwirkung in der QED

Mir scheint, dass sich im Buch ein Tippfehler eingeschlichen hat. Ihre Startgleichung sollte die folgende sein:

$$\begin{equation} T_{fi} = -i\int \frac{d\omega \,d^{3}\textbf{q}}{(2\pi)^{4}} \tilde{A}(\textbf{q},\omega)\tilde{B}(-\textbf{q},-\omega) \frac{1}{|\textbf{q}|^{2}}, \end{equation}$$ Wo $\tilde{A}$bezeichnet die Fourier-Transformation von $A$. Dann mit $$\begin{equation} \tilde{f}(\textbf{q},\omega) = \int dt\, d^{3}\textbf{x} \,f(\textbf{x},t)\, e^{-i(\textbf{q}\cdot \textbf{x}-\omega t)} \end{equation}$$ wird zum gewünschten Ergebnis führen.

Ich vermutete, dass man auf die Definition der Strömungen zurückgehen müsste und tatsächlich kann man dabei das Ergebnis ableiten. Hier ist eine Kurzversion.

Der Elektronenstrom ist definiert als [siehe Gleichung (6.6) in 1 ]

$$\tag{1}J_\mu(x) = -e\bar{u}_f\gamma_\mu u_i \times\mathrm{exp}[(p_f-p_i)\cdot x]$$ als was wir schreiben $$\tag{2}J_\mu(x) = j_\mu\mathrm{exp}[(p_f-p_i)\cdot x].$$

Wir müssen auch verwenden

$$\tag{3}q = p_i^A-p_f^A = p_f^B-p_i^B$$

Dann das Integral$(1)$in den ursprünglichen Beitrag geschrieben werden kann

$$\tag{4} T_{fi} = -i\int \!dt_Ad^3x_A d^3x \,\, j^Aj^B e^{i(p_f^{A0}-p_i^{A0})t_A}e^{i(p_f^{B0}-p_i^{B0})t_A}\frac{1}{|\vec{x}|}e^{i\vec{q}\cdot\vec{x}}.$$

Jetzt umziehen$\vec{x}=\vec{x}_B-\vec{x}_A$mit$d^3x=d^3x_B$und verwenden$(3)$Und

$$(\vec{p}_f^A-\vec{p}_i^A)\cdot(\vec{x}_B-\vec{x}_A) = -(\vec{p}_f^B-\vec{p}_i^B)\cdot\vec{x}_B-(\vec{p}_f^A-\vec{p}_i^A)\cdot\vec{x}_A,$$

Gleichung$(4)$wird

$$\tag{3} T_{fi} = -i\int \!dt_A\int d^3x_A\int d^3x_B \, \frac{J_0^A(t_A,\vec{x}_A)\,J_0^B(t_A,\vec{x}_B)}{4\pi|\vec{x}_B-\vec{x}_A|},$$ Wo $J_0^A(t_A,\vec{x}_A)$entspricht den OPs $A(t_A,\vec{x}_A)$usw.

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Referenzen: Siehe Anhang von JH Field, Klassischer Elektromagnetismus als Folge des Coulomb-Gesetzes, der speziellen Relativitätstheorie und des Hamilton-Prinzips und seine Beziehung zur Quantenelektrodynamik