Newtons drittes Gesetz und Allgemeine Relativitätstheorie

Lassen Sie uns zunächst anmerken, dass Newtons drittes Gesetz wirklich der Impulserhaltung entspricht, am Beispiel von Objekt eins, das eine Kraft auf Objekt zwei ausübt und umgekehrt, und diese beiden Kräfte die einzigen Kräfte im Universum sind:

$$\begin{align} F_{12} &= -F_{21}\\ m_{2}a_{2} &= -m_{1}a_{1}\\ \int m_{2}a_{2} dt &= -\int m_{1}a_{1} dt\\ m_{2}v_{2f}-m_{2}v_{2i} &= m_{1}v_{1i}-m_{1}v_{1f}\\ m_{1}v_{1f} + m_{2}v_{2f} &= m_{1}v_{1i} + m_{2}v_{2i}\\ \sum p_{f} &= \sum p_{i} \end{align}$$

Nun wissen wir, dass wir nach Impulserhaltung suchen und nicht nur nach Newtons drittem Gesetz (und Impulserhaltung ist sowieso ein allgemeineres Konzept - Newtons drittes Gesetz wird sich in einer Vielzahl elektromagnetischer Anwendungen als falsch herausstellen, aber Impulserhaltung wird immer noch wahr sein). Wie erhalten wir Impulserhaltung? Nun, die Bewegung eines Teilchens kann gefunden werden, indem man nach dem Minimum von etwas sucht, das als Lagrange bekannt ist:

$$L = KE - PE$$

Es stellt sich heraus, dass es ein Ergebnis namens Noether-Theorem gibt, das besagt, dass, wenn sich die Lagrange-Funktion nicht ändert, wenn Sie Ihre Variablen auf eine bestimmte Weise ändern, die durch diese Lagrange-Funktion definierte Dynamik zwangsläufig eine mit dieser Transformation verbundene Erhaltungsgröße aufweist. Es stellt sich heraus, dass die Impulserhaltung entsteht, wenn die Invarianz eine Verschiebung der Koordinaten ist:$x^{a^\prime} = x^{a} + \delta^{a}$. Kommen wir nun zurück zur Allgemeinen Relativitätstheorie. Hier ist die Bewegung eines Teilchens diejenige, die die Länge von maximiert:

$$\int ds^{2} =\int g_{ab}{\dot x^{a}}{\dot x^{b}}$$

Wenn der metrische Tensor$g_{ab}$eine Translationsinvarianz hat, wird diese Bewegung notwendigerweise einen erhaltenen Impuls haben, der damit verbunden ist, und sonst nicht. Hinweis: Übliche Lösungen wie die Schwarzschild-Lösung von GR sind NICHT translationsinvariant – das liegt daran, dass das Modell davon ausgeht, dass sich das zentrale Schwarze Loch nicht bewegt. Eine allgemeinere Lösung, die die Rückreaktion der Bewegung des Testteilchens beinhaltete, WÜRDE einen konservierten Impuls haben (und mit einem sich bewegenden Schwarzen Loch enden, nachdem eine gewisse Umlaufbahn abgeschlossen war).

Newtons Drittes Gesetz gilt teilweise in der Allgemeinen Relativitätstheorie.

In der Allgemeinen Relativitätstheorie ist die Raumzeit "gekrümmt", und der Impuls (und damit die Kraft) an einem Punkt kann nicht direkt sinnvoll dem Impuls (und der Kraft) an einem anderen Punkt in der Raumzeit entsprechen. Um Größen von verschiedenen Punkten in der Raumzeit zu entsprechen, brauchen wir etwas, das als "Paralleltransport" bezeichnet wird und den Impuls- (oder Kraft-) Raum an einem Punkt auf den Impuls- (oder Kraft-) Raum an einem anderen Punkt abbildet, wenn ein Pfad gegeben ist. Wie Sie sehen können, ist der resultierende Impuls (und die Kraft) am Zielort abhängig von dem gewählten Weg und der speziellen Geometrie der speziellen Raumzeit. Kräfte in der Ferne können also Dingen wie Newtons drittem Gesetz nicht wirklich gehorchen.

Lokal (auch bekannt als an einem Raumzeitpunkt) gilt jedoch Newtons drittes Gesetz (irgendwie). Grundsätzlich ist Newtons drittes Gesetz gleichbedeutend mit der Impulserhaltung. In der Allgemeinen Relativitätstheorie gilt dies in Form von

$$\nabla_\beta T^{\alpha\beta} = 0$$ Wo $T^{\alpha\beta}$ist der Energie-Impuls-Tensor und $\nabla_\beta$bezeichnet die kovariante Ableitung. Der Energie-Impuls-Tensor, den Sie erraten haben, repräsentiert die Energie und den Impuls sowie einige andere Komponenten, die hier an einem Raumzeitpunkt irrelevant sind, und die kovariante Ableitung ist im Grunde eine leicht modifizierte Ableitung, sagen wir, dass sie in gekrümmter Raumzeit funktioniert. Die Gleichung besagt also, dass die Ableitung des Impulses Null ist, und dies kann so interpretiert werden, dass der Impuls erhalten bleibt, was dem dritten Gesetz von Newton entspricht.