Nicht ganzzahliger kkk-Wert im Friedman-Robertson-Walker-Modell?

Das Kontinuum der Krümmungen existiert, aber wir finden es bequemer, es woanders zu platzieren. Der entscheidende Teil der Metrik, der die Krümmung codiert, ist ein Faktor$1-K r^2$, Wo$r$ist die radiale Koordinate (mit einem beliebigen Punkt als Ursprung) und$K$ist eine beliebige reelle Zahl, positiv oder negativ. Durch Dimensionsanalyse gibt es eine gewisse Länge$L$so dass entweder$K=1/L^2$oder$K=-1/L^2$, also können wir unsere Formel umschreiben als$1 - k (r/L)^2$, Wo$k$ist nur das Zeichen von$K$, oder$0$Wenn$K=0$. Der Fall$k=0$entspricht$L$gleich unendlich.

Diese neue Variable$k$kann nur die Werte haben$\pm 1$oder$0$, aber das ist okay, weil$L$kann trotzdem jede Länge haben, also haben wir die ganze Bandbreite an Krümmungen.$L$ist bekannt als der Krümmungsradius des Universums und ein größerer$L$impliziert eine kleinere Krümmung.$k$bestimmt, ob diese Krümmung positiv oder negativ ist.

Nun, und das ist ein bisschen ein technischer Punkt, wir können das machen$L$verschwinden, wenn wir unsere Koordinate messen$r$in Einheiten von$L$. In unserer Formel können wir festlegen$x = r/L$gerecht zu werden$1-kx^2$. Das Kontinuum der Krümmungen ist immer noch da, aber es ist darin verborgen$x$, weil die physikalische Interpretation von$x$kommt drauf an$L$:$x$ist wie oft$L$passt in deine Distanz. Also wenn zB$L = 1\ \text{light-year}$,$x=2$ist eine Entfernung von$2$Lichtjahre, aber wenn$L = 3$dann Lichtjahre$x=2$ist eigentlich eine Entfernung von$6$Lichtjahre. Mathematisch gesehen ist das der Preis, den wir zahlen$L$erscheint jetzt an anderer Stelle in den Formeln, in dem Teil, den wir verwenden, um Längen zu berechnen.

Zusammenfassend lässt sich sagen, dass die Krümmung tatsächlich jeden beliebigen Wert annehmen kann: Je näher sie an Null liegt, desto näher ist der Raum einer Ebenheit. Die Tatsache, dass$k$kann nur sein$\pm 1$oder Null ist nur eine Frage der Bequemlichkeit: Wir verwenden$k$die drei qualitativ unterschiedlichen Szenarien positiver/negativer/Nullkrümmung zu kennzeichnen.$L$legt nur die Größenskala für das Universum fest.