Ich zitiere aus der Wikipedia-Seite über die Form des Universums :
Wenn die räumliche Geometrie [des Universums] kugelförmig ist, dh eine positive Krümmung besitzt, ist die Topologie kompakt.
Ich versuche anhand dieses vereinfachten Beispiels zu verstehen, ob die zitierte Aussage wahr ist:
Angenommen, Sie haben ein Koordinatensystem für das Universum, , und die räumliche Krümmung ist durch eine Funktion gegeben . Nehmen wir das für alle an , die beiden Ereignisse Und sind identisch. Mit anderen Worten, die Dimension ist "kompakt" mit "Punkt" (Mit anderen Worten, die Topologie dieses Raums hat den Kreis als Faktor, denke ich).
Jetzt kann ich ein anderes Universum mit Koordinaten definieren , so dass ist nicht mehr kompakt, das heißt, unterscheidet sich von jeder Veranstaltung für alle Und . Für dieses Universum sei seine Krümmung durch dieselbe Funktion wie oben gegeben . Mit anderen Worten, dieses neue Universum hat genau die gleiche lokale Krümmungsstruktur wie das ursprüngliche Universum, aber es ist nicht mehr kompakt.
Nun verstehe ich, dass ich in diesem Beispiel die Krümmung nicht erwähnt habe (und insbesondere ist flach). Aber kann die gleiche "Auflockerung" nicht auch für positiv gekrümmte Räume durchgeführt werden, um zu zeigen, dass eine positive Krümmung nicht unbedingt ein kompaktes Universum impliziert?
Als zusätzlicher Gedanke, wenn ich mir Raum als a vorstelle -Sphäre, mit sphärischen Koordinaten ( ist Azimut, ist Neigung, ), dann könnte ich eine "Auflockerung" vornehmen Und verschiedene Punkte im Raum sein. Ich sehe jedoch, dass dies am Pol zusammenbricht , weil alle Punkte mit sind identisch. Aber ist das ein Problem?
Ich sehe aber, dass dies am Pol θ=0 zusammenbricht, weil alle Punkte mit θ=0 identisch sind. Aber ist das ein Problem?
Ja, das ist ein Problem, denn wenn man bei einer Kugel die Pole weglässt, dann hat sie die Topologie eines Zylinders, nicht einer Kugel.
Es gibt einen Satz in der Differentialgeometrie, der als Myers-Theorem bezeichnet wird . Dies ist ein Theorem in der Riemannschen Geometrie (nicht in der halb-Riemannschen Geometrie), aber wir können es auf die Metrik eines raumähnlichen Schnitts einer kosmologischen Raumzeit anwenden, die Riemannsch ist. Der Satz von Myers sagt uns im Grunde, dass der Raum kompakt ist, wenn die Ricci-Krümmung nach unten durch eine positive Grenze begrenzt ist (und der Satz setzt auch eine Grenze für seinen Durchmesser).
Beachten Sie, dass es nicht ausreicht, eine Krümmung zu haben, die überall positiv ist. Sie benötigen auch eine globale untere Schranke. Aber normalerweise machen wir unsere kosmologischen Modelle homogen, also ist die Ricci-Krümmung tatsächlich überall gleich.
