Kosmologie - Verwirrung über die Visualisierung des Universums als Oberfläche einer 3-Sphäre

Die Koordinaten für eine allgemeine Kugel, deren Mittelpunkt an einem beliebigen Ort liegt, wären ziemlich schwer in einem einzigen Ausdruck zu erfassen. Aber wenn Sie eine Kugel betrachten (ich meine eine 2-Kugel, die sich in der 3-Kugel-Mannigfaltigkeit befindet), die am Koordinatenursprung zentriert ist, dann sind die Grenzen einfach: Wählen Sie einfach einen Wert für$r$und lass$\theta$Und$\phi$variieren über ihren gesamten Bereich ($\pi$Und$2\pi$bzw). So können Sie die Oberfläche sehr einfach erhalten, und für das Volumen würden Sie ein Integral darüber machen$r$.

Um die Oberfläche einer 2-Kugel (in der 3-Kugel-Mannigfaltigkeit) allgemeiner zu lokalisieren, wäre eine Möglichkeit, zuerst den Ort anzugeben$(r_0,\theta_0,\phi_0)$für das Zentrum und finden Sie dann den Ort der Punkte in einem festen Abstand von diesem Zentrum, indem Sie die Metrik entlang einer Reihe von Geodäten integrieren, die vom Zentrum nach außen gehen. Ich bin sicher, dass dies algebraisch nicht der einfachste Weg ist, und Sie würden wirklich eine Reihe von Tricks aus der Differentialgeometrie anwenden, aber leider kenne ich sie nicht.

Nun endlich eine Antwort auf die allgemeine Frage nach der Bedeutung von$r,\theta,\phi$. Es ist eine gute Frage.$r$ist eine Koordinate, die zunimmt, wenn man sich entlang einer Linie vom gewählten Koordinatenursprung nach außen bewegt.$\theta$Und$\phi$führen Sie um Kreise herum, die auf den Ursprung zentriert sind, und zusammen um eine sphärische Oberfläche bei feststehend$r$. Diese Koordinaten sind also den bekannten sphärischen Polarkoordinaten sehr ähnlich, die in der euklidischen Geometrie verwendet werden können. Aber seien Sie vorsichtig, dies ist eine Aussage über ihre Rolle in der 3-Sphären-Mannigfaltigkeit selbst, nicht ihre Beziehung zu irgendeiner Einbettung dieser Mannigfaltigkeit in einen höherdimensionalen Raum.

Eine gemeinsame elementare Koordination der$2$-Kugel des Radius$R$verwendet zwei Winkel$(\theta,\phi)$als (Ko-)Breiten- und Längengrad. Wenn wir die Kugel einbetten$\mathbb R^3$, dann die Punkte$(x,y,z)$an der Oberfläche Form annehmen

$$\pmatrix{x\\y\\z} = \pmatrix{R \sin(\theta)\cos(\phi)\\R\sin(\theta)\sin(\phi)\\ R\cos(\theta)}$$

Wenn wir einschränken$\theta \in (0,\pi)$Und$\phi\in (0,2\pi)$, dann stellt dies ein Koordinatendiagramm dar, das alle abdeckt$2$-Sphäre mit Ausnahme der Pole und der Linie$\phi=0$was sie verbindet. In diesem Diagramm nimmt die Metrik die Form an

$$\mathrm ds^2 = R^2 (\mathrm d\theta^2 + \sin^2(\theta) \mathrm d\phi^2)$$

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Ein alternativer Ansatz ist der folgende. Anstatt den Polarwinkel zu verwenden$\theta$Als Koordinate können wir die Entfernung von verwenden$z$-Achse, gegeben durch$R\sin(\theta)$, die wir anrufen werden$r$. Äquivalent,$r$ist der Umfang des Kreises, der am Nordpol zentriert ist, geteilt durch$2\pi$. Beachten Sie, dass wir in diesem Diagramm nur die nördliche (oder südliche) Hemisphäre der Kugel abdecken können, aber das ist in Ordnung. Einbettung der$2$-Kugel hinein$\mathbb R^3$, Wir würden haben

$$\pmatrix{x\\y\\z} = \pmatrix{r \cos(\phi)\\r\sin(\phi) \\ \sqrt{R^2-r^2}}$$ In diesem Diagramm nimmt die Metrik die Form an $$\mathrm ds^2 = \frac{1}{1-kr} \mathrm dr^2 + r^2 \mathrm d\phi^2,\qquad k\equiv \frac{1}{R}$$

Das sollte Ihnen bekannt vorkommen.

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Die Erweiterungen der$3$-Sphäre sind unkompliziert. Die Einbettung "Kugelkoordinaten" verwendet drei Winkel$\psi,\theta,\phi$und nimmt die Gestalt an

$$\pmatrix{x\\y\\z\\w} = \pmatrix{R\sin(\psi)\sin(\theta)\cos(\phi)\\R\sin(\psi)\sin(\theta)\sin(\phi)\\R\sin(\psi)\cos(\theta)\\R\cos(\psi)}$$

Definieren$r\equiv R\sin(\psi)$, das wird

$$\pmatrix{x\\y\\z\\w}=\pmatrix{r\sin(\theta)\cos(\phi)\\ r\sin(\theta)\sin(\phi) \\ r\cos(\theta)\\ \sqrt{R^2-r^2}}$$

und in diesem Diagramm nimmt die Metrik die Form an

$$\mathrm ds^2 = \frac{1}{1-kr} \mathrm dr^2 + r^2(\mathrm d\theta^2 + \sin^2(\theta) \mathrm d\phi^2)$$ wo nochmal$k\equiv 1/R$.

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Mein Problem entsteht, wenn wir dieses Argument dann auf die 3-Sphäre ausdehnen. Was genau stellen die Parameter nun dar?

Im 2D-Fall bildet die Menge der vom Ursprung äquidistanten Punkte einen (verallgemeinerten) Kreis (a$1$-Kugel); die Koordinate$r$ist der Umfang dieses Kreises geteilt durch$2\pi$. Es ist nicht der Radius des Kreises, trotz des irreführenden Namens.

Auf den 3D-Fall verallgemeinernd bildet die Menge von Punkten, die äquidistant vom Ursprung sind, a$2$-Kugel; die Koordinate$r$stellt nun die Oberfläche dieser Kugel geteilt durch dar$4\pi$. Dies ist die gleiche Interpretation wie beispielsweise die "radiale" Swarzschild-Koordinate.

Sobald Sie einige ausgewählt haben$r$, Sie haben Ihre Aufmerksamkeit auf a beschränkt$2$-Sphäre von Punkten, die den gleichen Abstand vom Koordinatenursprung haben. Die Engel$\theta$Und$\phi$geben Sie hierzu einen Punkt an$2$-sphere genau so, wie sie es normalerweise in elementaren sphärischen Koordinaten tun.

Um mein Problem zu veranschaulichen: Angenommen, wir möchten das Volumen einer Kugel mit Radius berechnen$R_0$die auf der Oberfläche der 3-Sphäre existiert (K=1 Universum). Wie würden wir das mit dieser Metrik machen?

Die Oberfläche einer Kugel mit Radius$r$ist einfach$4\pi r^2$, was unmittelbar aus der vorstehenden Auslegung folgt. Das Volumen der Kugel mit Radius$R_0$geht dann problemlos

$$V = \int_0^{R_0} 4\pi r^2 \frac{1}{1-kr} \mathrm dr = 4\pi \frac{kR_0(kR_0+2)+2\log(1-kR_0)}{2k^3}$$ was sich reduziert auf$\frac{4\pi R_0^3}{3}$in der Grenze als$kR_0 \rightarrow 0$, wie erwartet.