Warum impliziert ein flaches Universum ein unendliches Universum?

Bei der Formulierung von der Größe des Universums müssen wir präzise sein . Insbesondere werde ich es so verstehen, dass es die maximal mögliche Trennung zwischen zwei beliebigen Punkten bedeutet. In einem unendlichen Universum können zwei Punkte durch einen beliebig großen Abstand voneinander getrennt sein. Wenn also der maximale Abstand zwischen zwei Punkten endlich ist, bedeutet dies, dass das Universum nicht unendlich sein muss.

Der Punkt bei all dem ist, dass der Abstand zwischen zwei beliebigen Punkten mit der Metrik berechnet wird. Für ein Friedmann-Universum wie unseres (zumindest glauben wir, dass unser Universum ein Friedmann-Universum ist) lautet die Metrik (in Polarkoordinaten):

Der Wert des Parameters$k$bestimmt, ob das Universum geschlossen, flach oder offen ist. Speziell$k > 0$ist ein abgeschlossenes Universum,$k = 0$ist ein flaches Universum und$k < 0$ist ein offenes Universum. Die Variable$s$ist der richtige Abstand.

Angenommen, wir wählen einen Ausgangspunkt an einem Startpunkt, wählen eine feste Zeit und berechnen die richtige Entfernung.$s$wenn wir uns radial vom Startpunkt wegbewegen. Die Frage ist ob$s$unendlich erreichen kann oder nicht. Denn nur$r$verändert sich$dt = d\Omega = 0$, also vereinfacht sich der Ausdruck für den richtigen Abstand zu:

Wir wählen unsere zu erstellenden Entfernungseinheiten$a = 1$, und wir betrachten nur geschlossenen oder flachen Raum,$k \ge 0$, in diesem Fall können wir die obige Gleichung integrieren, um zu geben:

Also der maximal mögliche Wert für$s(r)$ist, wenn$\sqrt{k}r = 1$, in welchem ​​Fall:

Und da ist das Ergebnis, das wir wollen. Für ein geschlossenes Universum$k > 0$und daher ist der maximal mögliche Abstand zwischen zwei Punkten endlich. allerdings da$k \rightarrow 0$die maximal mögliche Distanz$s_{max} \rightarrow\infty$. Deshalb ist ein flaches Universum unendlich.

Wir sollten jedoch beachten, dass, wie Rexcirus in seiner Antwort betont, selbst ein flaches Universum endlich sein kann, wenn es eine nicht-triviale Topologie hat.

Diese Behauptung ist einfach falsch. Die flache Hyperebene ist natürlich unendlich, aber nichttriviale Topologien können flach und dennoch endlich sein. Das einfachste Beispiel ist der 3-Torus , aber es gibt auch die Klein-Flasche und den Hantzsche-Wendt-Verteiler.

Siehe zum Beispiel Seite 27 von Janna Levin - Topology and the Cosmic Microwave Background , die Ihnen zehn verschiedene geschlossene flache 3-Mannigfaltigkeiten zeigt.

Zur weiteren Lektüre empfehle ich: William Thurston, Three-Dimensional Geometry and Topology, Princeton University Press (1997) .

Ich denke, dass es wichtig ist, darauf hinzuweisen, dass (fast) jeder, der Kosmologie betreibt, im Rahmen des FLRW-Universums arbeitet .

Dies impliziert, dass wir davon ausgehen , dass das Universum räumlich homogen und isotrop ist, dh „jeder Ort ist gleich (zumindest im Großen)“. Stellen Sie sich nun ein flaches, endliches Universum vor: Kann man behaupten, dass alle Orte gleich sind?

Andere Antworten haben deutlich gemacht, dass „flach“ nur unendlich gegebene zusätzliche Annahmen rund um die Topologie impliziert.

Kurzum: Ein Universum, das überall gleich, aber nicht einfach zusammenhängend ist, kann endlich sein .

Es ist erwähnenswert, dass, während das Hauptarbeitsmodell davon ausgeht, dass das Universum einfach verbunden ist, die tatsächliche Topologie eine offene und ernsthafte Frage ist.

Folglich gibt es laufende Studien, die erstens die topologischen Möglichkeiten untersuchen und zweitens danach suchen.

Der nächsteinfachste Raum wäre beispielsweise ein 3-Torus. Mit dieser Form und einem ausreichend kleinen Universum können Sie möglicherweise dieselben Galaxien sehen, indem Sie in entgegengesetzte Richtungen am Himmel schauen.

[Soweit ich weiß] gibt es keine eindeutigen Beweise für eine solche Galaxienspiegelung.

Als Ausgangspunkt siehe Wikipedia Donut Universe , aber es gibt auch eine Menge technischer Artikel zu diesem Thema.

Warum impliziert ein flaches Universum ein unendliches Universum?

Dieser Artikel behauptet, dass, weil das Universum flach zu sein scheint, es unendlich sein muss. Ich habe diese Idee an einigen anderen Stellen erwähnt, aber sie erklären die Argumentation überhaupt nicht.

Der fragliche Abschnitt scheint zu sein:

„Das Vardanyan-Modell besagt, dass die Krümmung des Universums eng um 0 eingeschränkt ist. Mit anderen Worten, das wahrscheinlichste Modell ist, dass das Universum flach ist. Ein flaches Universum wäre auch unendlich und ihre Berechnungen stimmen auch damit überein. Diese zeigen dass das Universum mindestens 250-mal größer ist als das Hubble-Volumen. (Das Hubble-Volumen ist ähnlich groß wie das beobachtbare Universum.)".

The Daily Galaxy über MIT Technology Review "

Technology Review macht das oben genannte Zitat und sagt dies auch:

"Andere Schätzungen hängen von einer Reihe von Faktoren ab und insbesondere von der Krümmung des Universums: ob es geschlossen ist, wie eine Kugel, flach oder offen. In den beiden letzteren Fällen muss das Universum unendlich sein."

Andere und ich sind anderer Meinung.

Eine ziemlich einfache Erklärung findet sich bei Wikipedia, alles auf einer Seite.

Unendlich oder endlich

Eine der derzeit unbeantworteten Fragen über das Universum ist, ob es unendlich oder endlich ist. Für die Intuition kann verstanden werden, dass ein endliches Universum ein endliches Volumen hat, das beispielsweise theoretisch mit einer endlichen Menge an Material gefüllt werden könnte, während ein unendliches Universum unbegrenzt ist und kein numerisches Volumen es möglicherweise füllen könnte. Mathematisch wird die Frage, ob das Universum unendlich oder endlich ist, als Begrenztheit bezeichnet. Ein unendliches Universum (unbegrenzter metrischer Raum) bedeutet, dass es beliebig weit voneinander entfernte Punkte gibt: Für jeden Abstand d gibt es Punkte, die mindestens d voneinander entfernt sind. Ein endliches Universum ist ein begrenzter metrischer Raum, in dem es einen gewissen Abstand d gibt, so dass alle Punkte innerhalb des Abstands d voneinander liegen. Das kleinste solche d heißt Durchmesser des Universums,

Mit oder ohne Begrenzung

Unter der Annahme eines endlichen Universums kann das Universum entweder einen Rand oder keinen Rand haben. Viele endliche mathematische Räume, z. B. eine Scheibe, haben einen Rand oder eine Grenze. Räume, die einen Rand haben, sind sowohl konzeptionell als auch mathematisch schwer zu behandeln. Es ist nämlich sehr schwierig zu sagen, was am Rande eines solchen Universums passieren würde. Aus diesem Grund werden Räume, die eine Kante haben, typischerweise von der Berücksichtigung ausgeschlossen.

Es gibt jedoch viele endliche Räume, wie die 3-Kugel und den 3-Torus, die keine Kanten haben. Mathematisch werden diese Räume als kompakt ohne Begrenzung bezeichnet. Der Begriff kompakt bedeutet im Grunde, dass es im Umfang endlich ("begrenzt") und vollständig ist. Der Begriff "ohne Begrenzung" bedeutet, dass der Raum keine Kanten hat. Darüber hinaus wird das Universum typischerweise als differenzierbare Mannigfaltigkeit angenommen, damit der Kalkül angewendet werden kann. Ein mathematisches Objekt, das alle diese Eigenschaften besitzt, grenzenlos kompakt und differenzierbar ist, wird als geschlossene Mannigfaltigkeit bezeichnet. Die 3-Sphäre und der 3-Torus sind beide geschlossene Mannigfaltigkeiten.

Krümmung

Die Krümmung des Universums schränkt die Topologie ein. Wenn die räumliche Geometrie sphärisch ist, dh eine positive Krümmung besitzt, ist die Topologie kompakt. Für eine flache (Nullkrümmung) oder eine hyperbolische (negative Krümmung) räumliche Geometrie kann die Topologie entweder kompakt oder unendlich sein. Viele Lehrbücher behaupten fälschlicherweise, dass ein flaches Universum ein unendliches Universum impliziert; Die richtige Aussage ist jedoch, dass ein flaches Universum, das auch einfach verbunden ist, ein unendliches Universum impliziert. Zum Beispiel ist der euklidische Raum flach, einfach zusammenhängend und unendlich, aber der Torus ist flach, mehrfach zusammenhängend, endlich und kompakt.

Im Allgemeinen beziehen lokale zu globale Theoreme in der Riemannschen Geometrie die lokale Geometrie auf die globale Geometrie. Wenn die lokale Geometrie eine konstante Krümmung aufweist, ist die globale Geometrie sehr eingeschränkt, wie in Thurston-Geometrien beschrieben.

Die neuesten Forschungsergebnisse zeigen, dass selbst die leistungsstärksten zukünftigen Experimente (wie SKA, Planck ...) nicht in der Lage sein werden, zwischen einem flachen, offenen und geschlossenen Universum zu unterscheiden, wenn der wahre Wert des kosmologischen Krümmungsparameters kleiner als 10 ist$^{−4}$. Wenn der wahre Wert des kosmologischen Krümmungsparameters größer als 10 ist$^{−3}$Wir werden schon jetzt zwischen diesen drei Modellen unterscheiden können.

Die 2015 veröffentlichten Ergebnisse der Planck-Mission zeigen, dass der kosmologische Krümmungsparameter ΩK 0,000 ± 0,005 beträgt, was mit einem flachen Universum übereinstimmt.

Es besteht Einigkeit darüber, dass das Universum flach ist oder fast flach ist.

Die meisten Menschen scheinen anderer Meinung zu sein, dass Ebenheit impliziert, dass die einzig mögliche Größe unendlich ist.

Ein flaches Stück Papier ist nicht unendlich, es zu einer Röhre zu rollen ändert weder seine Größe noch sein Gewicht.

Sie wären besser in der Lage gewesen, das Gegenteil zu argumentieren, nämlich dass eine Kugel eine endliche Oberfläche hat.

Das Versäumnis, ihre Argumentation zu erklären, liegt wahrscheinlich daran, dass sie nicht wahr ist und die Logik die Aussage nicht stützt.

Mihran Vardanyan (Oxford) hat 3 Artikel auf arXiv, 2 über das Universum.

„ Wie flach kann man werden? Eine Modellvergleichsperspektive auf die Krümmung des Universums “ (20. April 2009), von Mihran Vardanyan (Oxford), Roberto Trotta (Imperial College London) und Joe Silk (Oxford)

Seite 14: " 6 SCHLUSSFOLGERUNGEN

Wir haben die Geometrie des Universums einer detaillierten Untersuchung aus der Perspektive eines Modellvergleichs unterzogen, indem wir eine Drei-Wege-Modellauswahl mit zwei physikalisch motivierten Priors durchgeführt haben. Wir fanden heraus, dass heutige Daten einen bis zu mäßigen Beweis für Flachheit (maximale Wahrscheinlichkeit von 66:1) für eine bestimmte Wahl des Priors (den Prior des Astronomen) und unter der Annahme liefern, dass Dunkle Energie eine kosmologische Konstante ist. Eine vorherige Krümmungsskala und eine Lockerung der Annahme über die Natur der Dunklen Energie schwächen dieses Ergebnis erheblich ab und ergeben nur unschlüssige Chancen von weniger als 3:2 zugunsten der Flachheit. Dementsprechend liegt die Wahrscheinlichkeit, dass das Universum unendlich ist, je nach Annahme im Bereich von 67 % bis 98 %. Wenn das Universum nicht unendlich ist, haben wir eine robuste untere Grenze für die Anzahl der Hubble-Sphären gefunden,$N_U \gtrsim 5$.

„ Applications of Bayesian model averaging to the curve and size of the Universe “ (28. Feb. 2011), von Mihran Vardanyan (Oxford), Roberto Trotta (Imperial College London) und Joe Silk (Oxford)

Seite 1: „Der Betrag der Krümmung wird normalerweise durch den Krümmungsparameter Ωκ charakterisiert: Wenn Ωκ < 0 ist, ist die Geometrie von Raumabschnitten kugelförmig (dh das Universum ist geschlossen) und das Universum hat eine endliche Größe. Wenn stattdessen Ωκ > 0 ist Die Geometrie ist hyperbolisch (dh das Universum ist offen), während für Ωκ = 0 räumliche Abschnitte flach sind. In den beiden letzteren Fällen ist die räumliche Ausdehnung des Universums unendlich.

Die Definition von „ räumlicher Ausdehnung “ ist das Maximum der Koordinaten.

Es scheint, als wäre er falsch zitiert worden.

Die Behauptung, „weil das Universum flach zu sein scheint, muss es unendlich sein“ ist sehr falsch. Die Schlussfolgerung wird nicht nur nicht durch die Prämisse gestützt, sondern deutet auch auf ein Missverständnis der Natur der Wissenschaft hin.

Wir sind in einem Boot, das auf einem Ozean schwimmt. Wir können nur eine endliche Entfernung in jede Richtung sehen. Denn so weit wir sehen können, gibt es nichts als einen glatten Ozean ohne wahrnehmbare Krümmung.

Alle der folgenden Punkte stimmen mit dem überein, was wir sehen:

• Das Universum ist ein unendlicher planarer Ozean.
• Das Universum ist eine mit Ozean bedeckte Kugel mit einem Radius, der groß genug ist, dass der Teil, den wir sehen können, keine erkennbare Krümmung aufweist.
• Das Universum ist ein unendlicher hyperbolisch-planarer Ozean mit einer Krümmung, die so klein ist, dass wir sie nicht erkennen können.
• Das Universum ist ein Ozean, der nicht gleichmäßig gekrümmt ist, aber die Krümmung überall oder zumindest in unserer Nachbarschaft ist klein genug, dass wir sie nicht erkennen können.
• Das Universum enthält sowohl Ozeane als auch Festland, und wir befinden uns inmitten eines Ozeans, der groß genug ist, dass wir die Küsten nicht sehen können.

Damit sind die Möglichkeiten nicht erschöpft. Alle diese Modelle sind nicht nur möglich, sondern scheinen angesichts dessen, was wir sehen, ziemlich plausibel.

Angesichts der Daten werden die Wissenschaftler auf dem Boot den Ozean höchstwahrscheinlich als unendliche Ebene modellieren. Das bedeutet nicht, dass sie glauben, es sei eine unendliche Ebene. Es macht einfach keinen Sinn, ein komplizierteres Modell zu verwenden, wenn keine Daten vorliegen, um die Frage zu klären, welche der unendlich vielen Arten komplizierterer Modelle richtig sein könnte. Das ist eine Aussage von Occams Rasiermesser.

Sie setzen sich nicht dogmatisch dafür ein, dass es keine Krümmung, keine Landmassen oder gar keinen absoluten Rand der Welt gibt, wo der Ozean in eine unendliche Leere fällt. Wenn sie Beweise für eines dieser Dinge finden, fügen sie sie ihrem Modell hinzu.

Wenn ich mir die früheren Antworten auf diese Frage anschaue, fällt mir auf, dass die meisten von ihnen eine nichttriviale Topologie als Möglichkeit vorschlugen, dass ein flaches Universum flächenmäßig endlich sein könnte, aber keiner von ihnen erwähnte, dass das Universum im Großen und Ganzen einfach inhomogen sein könnte Skalen – trotz der Tatsache, dass z. B. viele Spielarten der inflationären Kosmologie ein inhomogenes Universum implizieren, während ich noch nie von einem Modell gehört habe, das die Anfangsbedingungen eines nicht einfach zusammenhängenden FLRW-Universums erzeugt. Ich habe auch vor kurzem eine Antwort geschriebenes handelte sich hauptsächlich um eine von Fachleuten begutachtete Arbeit, die in einer angesehenen Zeitschrift veröffentlicht wurde und die nicht wegen eines subtilen Fehlers falsch war, sondern weil die Autoren (und anscheinend die Gutachter) die Rolle der FLRW-Geometrien in der Kosmologie völlig falsch verstanden zu haben schienen. All dies legt für mich nahe, dass viele Menschen das kosmologische Prinzip dogmatisch betrachten.

Es gibt nichts in der Allgemeinen Relativitätstheorie, das erfordert, dass das Universum durch eine FLRW-Geometrie beschrieben wird. Das Universum kann jede Form haben. Die FLRW-Geometrie (ΛCDM-Variante) ist nur die einfachste Form, die zu dem passt, was wir sehen. Es ist die reale Version des unendlichen ebenen Ozeans, nicht mehr.