Normale Moden für stehende Wellen in 1-D-Akustikkanälen mit willkürlichen (aber realen) Impedanzsprüngen

Also hat niemand diese Frage beantwortet, also habe ich sie endlich gelöst, falls jemand neugierig darauf ist. Wenn es Fehler gibt, lassen Sie es mich bitte wissen. Außerdem habe ich dies aus meinem eigenen Latex-Dokument kopiert/eingefügt, daher habe ich möglicherweise einen Teil der Übersetzung in MathJax verpasst.

Im allgemeinsten Fall sind die Abschlussimpedanzen an jedem Ende des Kanals in Fig. 1 komplex. Dies ergibt sich aus der Tatsache, dass sich im Allgemeinen links von 1 und rechts von 2 stehende Wellen im Kanal bilden.

Es gibt Situationen, in denen es möglich ist, keine stehenden Wellen nach der Grenzfläche zu haben, was dann die Impedanz real machen würde. Diese Situationen können in praktischen Szenarien auftreten, in denen die Störungen in die offene Atmosphäre austreten oder an einer starren, verlustfreien Wand enden, oder wenn die Rohrlänge stromabwärts der Grenzfläche so lang ist, dass viskose Verluste das reflektierte Signal so stark dämpfen, dass es vernachlässigbar ist verglichen mit der einfallenden Welle zu dem Zeitpunkt, zu dem die Welle zur Grenzfläche zurückkehrt ($Z_1$oder$Z_2$).

Um den allgemeinsten Fall zu untersuchen, nehmen wir das an$Z_1$Und$Z_2$sind komplex. Lassen Sie uns außerdem noch einmal davon ausgehen, dass die Wellen zeitharmonisch sind und durch gegeben sind

$$p'(x,t) = P(x)e^{i\omega t} = \Big[Ae^{-ikx} + Be^{ikx}\Big]e^{i\omega t}$$

$$u'(x,t) = U(x)e^{i\omega t} = \frac{1}{Z_0}\Big[Ae^{-ikx} - Be^{ikx}\Big]e^{i\omega t}$$

Da wir die Impedanzen einen beliebigen komplexen Wert annehmen lassen, stellt sich heraus, dass es relativ nutzlos ist, direkt nach den Koeffizienten zu suchen und aufzulösen. Dadurch entstehen übermäßig komplizierte Gleichungen, die nichts Nützliches über die dominanten Moden im Rohr aussagen. Es erweist sich als viel aufschlussreicher, den Prozess durch geeignete Randbedingungen zu untersuchen. Wir können zu einer sehr allgemeinen Randbedingung gelangen, indem wir die linearisierte Impulsgleichung betrachten, die durch gegeben ist

$$\frac{\partial u'}{\partial t} + \frac{1}{\rho_0}\frac{\partial p'}{\partial x} = 0$$

Setzen Sie die Druck- und Geschwindigkeitsgleichungen in die Impulsgleichung ein und notieren Sie sich das$\frac{p'(x,t)}{u'(x,t)} = z(x)$, Wo$z(x)$ist die mechanische Impedanz, die wir erhalten

$$\nonumber i\omega \rho_0 P(x) + z(x)\frac{dP}{dx} = 0$$

Bemerken, dass$\omega = c_0k$Und$z_0 = \rho_0 c_0$, und Division durch die Fläche A(x), erhalten wir

$$ik\frac{z_0}{A(x)}P(x) + \frac{z(x)}{A(x)}\frac{dP}{dx} = 0$$

Hier$z_0$ist die spezifische akustische Impedanz des Rohres. Es ist wichtig zu beachten, dass dies eine echte geschätzte Menge ist. Schließlich sei darauf hingewiesen, dass die akustische Impedanz gegeben ist durch$Z_i = \frac{z_i}{A(x)}$, wir haben

$$ikZ_0P(x) + Z(x)\frac{dP}{dx} = 0$$

Dies ist ein allgemeiner BC und kann an jedem Punkt innerhalb des Rohrs angewendet werden, aber es ist wichtig zu beachten, dass sich der Bereich ändern kann, also der richtige$A(x)$Wert verwendet werden. Wenden Sie dieses BC an$x = 0$, wir bekommen

$$ikZ_0\big[A + B\big] + Z_1\big[-ikA + ikB\big] = 0$$

Wenn wir alle Begriffe gruppieren, kommen wir zu unserem ersten BC

$$\Big(1 - \frac{Z_1}{Z_0}\Big)A + \Big(1 + \frac{Z_1}{Z_0}\Big)B = 0$$

Anwenden des BC auf$x = L$, wir bekommen

$$Ae^{-ikL} + Be^{ikl} + \frac{Z_2}{Z_0}\Big[-Ae^{-ikL} + Be^{ikL}\Big] = 0$$

Wenn wir schließlich alle Begriffe gruppieren, kommen wir zu unserem letzten BC

$$\Big(1 - \frac{Z_2}{Z_0}\Big)e^{-ikL}A + \Big(1 + \frac{Z_2}{Z_0}\Big)e^{ikL}B = 0$$

Diese können in Matrixform gebracht werden, um zu erhalten

$$\begin{bmatrix} &\Big(1 - \frac{Z_1}{Z_0}\Big) &\Big(1 + \frac{Z_1}{Z_0}\Big) \\ &\Big(1 - \frac{Z_2}{Z_0}\Big)e^{-ikL} &\Big(1 + \frac{Z_2}{Z_0}\Big)e^{ikL} \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} &A& \\ &B& \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} &0& \\ &0& \end{bmatrix}$$

Die Koeffizienten A und B haben nur dann eine nichttriviale Lösung, wenn die Determinante der Matrix Null ist

$$\begin{vmatrix} &\Big(1 - \frac{Z_1}{Z_0}\Big) &\Big(1 + \frac{Z_1}{Z_0}\Big) \\ &\Big(1 - \frac{Z_2}{Z_0}\Big)e^{-ikL} &\Big(1 + \frac{Z_2}{Z_0}\Big)e^{ikL} \\ \end{vmatrix} = 0$$

Auflösen nach der Determinante, die wir erhalten

$$\Big(1-\frac{Z_1}{Z_0}\Big)\Big(1+\frac{Z_2}{Z_0}\Big)e^{ikL} - \Big(1-\frac{Z_2}{Z_0}\Big)\Big(1 + \frac{Z_1}{Z_0}\Big)e^{-iKL} = 0$$

Definition der Reflexionskoeffizienten als

$$R_1 \equiv \frac{\frac{Z_1}{Z_0} - 1}{\frac{Z_1}{Z_0} + 1}$$

$$R_2 \equiv \frac{\frac{Z_2}{Z_0} - 1}{\frac{Z_2}{Z_0} + 1}$$

Endlich kommen wir zum Zustand

$$e^{i2kL} = \frac{R_2}{R_1}$$

Die hier definierten Reflexionskoeffizienten sind die Reflexion, die die Welle im Rohr sehen würde, wenn sie sich einer der Grenzflächen nähert. Aufgrund der Tatsache, dass$Z_1$Und$Z_2$im Allgemeinen komplex sind, dann können wir erwarten$R_1$Und$R_2$auch komplex sein, so wird die Bedingung

$$e^{i2kL} = \frac{|R_2|}{|R_1|}e^{i(\theta_2 - \theta_1)}$$

Bevor wir zum allgemeinsten Fall übergehen, werfen wir einen Blick auf ein paar Grenzfälle:

1. Gleiche Reflexion mit positiver Orientierung

In dem Fall, dass$\frac{R_2}{R_1} = 1$, würde die Welle an jeder Grenzfläche genau die gleiche Reflexion sehen, also müssen wir haben$Z_1 = Z_2$. Der sehr einschränkende Fall, in dem wir offen-offene oder geschlossen-geschlossene Grenzen haben, ist eine Teilmenge dieser Klasse von Randbedingungen. Es ist klar, dass diese Bedingung nur gilt, wenn

$$\sin{kL} = 0$$

was bedeutet, dass

$$kL = n\pi$$

Wo n = 1,2,3, ... Solange die Impedanzen gleich sind (muss nicht offen-offen oder geschlossen-geschlossen sein), werden wir immer haben$\frac{\lambda}{2}$Modi.

2. Gleiche Reflexion mit negativer Orientierung

In dem Fall, dass$\frac{R_2}{R_1} = -1$, würde die Welle an jedem Ende genau die gleiche Reflexionsstärke sehen, aber ihr Vorzeichen wäre entgegengesetzt zu dem am anderen Ende des Rohrs. Für den Fall realer Impedanzen bedeutet das$\frac{Z_i}{Z_0} < 1$auf einer der Schnittstellen und$\frac{Z_i}{Z_0} > 1$auf dem anderen. Das bedeutet, dass

$$e^{i2kL} = -1$$

Wenn wir den komplexen Log jeder Seite nehmen und die Periodizität des komplexen Exponentials notieren, haben wir

$$i2\Big[kL - n\pi] = \ln{1} + i\pi$$

wo wir die Identität that verwendet haben$\ln{(-a)} = \ln{(a)} + i\pi$. Auflösen für$kL$, wir bekommen

$$kL = \frac{\pi}{2}(2n + 1)$$

Wo$n = \pm 1,2,3,...$. Oder einfacher

$$kL = m\frac{\pi}{2}$$

Wo$m = \pm 1,3,5,...$. Dies ist ein wirklich interessanter Grenzfall, da wir einen wertvollen Einblick in das Problem erhalten können, ohne die Koeffizienten zu lösen. Wenn wir setzen$R2 = - R1$, wir bekommen

$$(\frac{Z_2}{Z_0} - 1)(\frac{Z_1}{Z_0} + 1) = -(\frac{Z_1}{Z_0} - 1)(\frac{Z_2}{Z_0} + 1)$$

Und wenn wir dies lösen, kommen wir zu der Anforderung, dass$Z_1Z_2 = Z_0^2$. Seit$Z_0 = \frac{\rho_0 c_0}{A}$ein Realwertparameter ist, dann gilt diese Gleichung nur, wenn$Z_1 = Z_2*$. So können wir schreiben

$$Z_0 = \sqrt[]{|Z_1||Z_2|}$$

Das bedeutet, solange die Impedanz des Rohres,$Z_0 = \frac{\rho_0 c_0}{A}$, ist das geometrische Mittel der Abschlussimpedanzen, die wir immer haben werden$\frac{\lambda}{4}$Modi! Wenn außerdem die Fluideigenschaften (dh Dichte und Schallgeschwindigkeit) gleich sind und die Fläche innerhalb des Rohrs konstant ist, dann haben wir Viertelwellenlängenmoden, wenn die Fläche des Rohrs das geometrische Mittel der Flächen der Rohre ist vor und nach ihm.

$$A_0 = \sqrt[]{A_1A_2}$$

3. Konstante Phase

Wenn wir andererseits haben$\theta_2 = \theta_1$, dann wird die Bedingung

$$e^{2ikL} = \frac{|R_2|}{|R_1|}$$

Wenn wir das komplexe Protokoll beider Seiten nehmen, erhalten wir

$$2i\Big[kL - n\pi\Big] = \ln{\Bigg(\frac{|R_2|}{|R_1|}\Bigg)}$$

Und wir können nach der zu erhaltenden Wellenzahl auflösen

$$kL = n\pi - i\frac{1}{2}\ln{\Bigg(\frac{|R_2|}{|R_1|}\Bigg)}$$

Wo$n = 0,\pm[1,2,3,...]$. Aber was bedeutet eine komplexe Wellenzahl physikalisch? Stecken wir es wieder in den Time Harmonic EQ. herauszufinden (für n = 1). Die x-Komponente der Druckgleichung ergibt

$$P(x) = \Bigg[\Big(\frac{|R_2|}{|R_1|}\Big)^{\frac{-x}{2L}}A\Bigg]e^{-i\frac{\pi}{L}x} + \Bigg[\Big(\frac{|R_2|}{|R_1|}\Big)^{\frac{x}{2L}}B\Bigg]e^{i\frac{\pi}{L}x}$$

Es ist klar, dass der Beitrag des Magnitudenverhältnisses einfach die Amplitude der einfallenden und reflektierten Welle so beeinflussen soll, dass sie die Randbedingungen erfüllt, und dass er keinen Beitrag zur Schwingungsfrequenz leistet . Die Zeitkomponente der Wellenzahl ergibt

$$e^{i\omega t} = \Bigg[\Big(\frac{|R_2|}{|R_1|}\Big)^{\frac{ct}{2L}}\Bigg]e^{i\frac{\pi c}{L}t}$$

Es ist klar, dass$\frac{|R_2|}{|R_1|}$ist ein "dämpfender" Faktor. Das macht physikalisch Sinn. Da wir freie Bewegung betrachten (dh keine erzwungenen Harmonischen), dann es sei denn$|R_2| = |R_1| = 1$, wird ein Teil der Welle durch die Grenzfläche übertragen und Energie mit sich forttragen. Daher sollten wir damit rechnen, dass die Welle abklingt$t \rightarrow \infty$. Das gilt solange$\frac{|R_2|}{|R_1|} < 1$, aber falls$\frac{|R_2|}{|R_1|} > 1$, Dann$p'(x,t) \rightarrow \infty$als$t \rightarrow \infty$.

Zusammenfassend gilt: Wenn die Phasendifferenz gleich ist, haben wir immer$\frac{\lambda}{2}$Modi unabhängig vom Größenverhältnis der Reflexionskoeffizienten. Die einzige Rolle, die sie haben, besteht darin, eine Amplitudenänderung bereitzustellen.

4. $\pi$Phasendifferenz

Wenn$\theta_2 = \theta_1 + \pi$, dann haben wir

$$e^{2ikL} = -\frac{|R_2|}{|R_1|}$$

Dies kann auf ähnliche Weise gelöst werden

$$kL = n\frac{\pi}{2} - i\frac{1}{2}\ln{\Bigg(\frac{|R_2|}{|R_1|}\Bigg)}$$

Wo$n = 0,\pm[1, 3, 5, ...]$. Dies bedeutet, dass solange die Phasendifferenz um einen Faktor von ausgeschaltet ist$\pi$, dann werden die Resonanzmoden immer sein$\frac{\lambda}{4}$Modi unabhängig von der Größendifferenz.

5. Allgemeiner Fall

Die allgemeinste Bedingung ist die

$$2i\Big[kL - n\pi\Big] = i(\theta_2 - \theta_1) + \ln{\Bigg(\frac{|R_2|}{|R_1|}\Bigg)}$$

So muss die Wellenzahl sein

$$kL = n\pi + \frac{1}{2}(\theta_2 - \theta_1) - i\frac{1}{2}\ln{\Bigg(\frac{|R_2|}{|R_1|}\Bigg)}$$

Wo$n = 0,\pm[1, 2, 3, ...]$.

Wie bereits erwähnt, ist die einzige Komponente, die die Schwingungsfrequenz beeinflusst, die Phasendifferenz zwischen den beiden Grenzflächenreflexionen. Wenn diese sehr klein sind,$\frac{\theta_2}{\theta_1} \sim 1$, dann haben wir einfach Halbwellenlängenmoden. Das wirklich Interessante an diesen Ergebnissen ist, dass sie nur von den Grenzen abhängen und nicht davon, was innerhalb des Rohrs vor sich geht, vorausgesetzt, dass die Flüssigkeit homogen ist (dh die Wellenzahl bleibt gleich).

Ich fürchte, Sie sind bei Ihrer Herleitung zu einer falschen Antwort gekommen. Die Impedanz BC in einem akustischen System ist nicht p' = Zu, aber sie ist:

$$p'=Z\times(\vec{u}.\vec{n})$$ Der Unterschied klingt harmlos, bis Sie den BC sowohl für den Einlass als auch für den Auslass anwenden, wo sich die Richtung des Normalenvektors ändert. Da also am Einlass die Richtung des Normalenvektors der reflektierenden Oberfläche und die Richtung der positiven Geschwindigkeit gleich sind, ist der BC so, wie Sie geschrieben haben: $$[A+B]=\frac{Z_1}{Z_0}[A-B]$$ Aber am Auslass, da die Richtung der reflektierenden Oberfläche und die Schallgeschwindigkeit entgegengesetzt sind, ist der Auslass BC tatsächlich: $$[Ae^{-ikL}+Be^{ikL}]=-\frac{Z_2}{Z_0}[Ae^{-ikL}-Be^{ikL}]$$ Die reduzierte Gleichung wird also: $$\boxed{e^{2ikL}=R_1R_2}$$ $$\\$$ Lassen Sie mich ein Problem mit Ihrer Lösung veranschaulichen. Vergleichen wir 2 Fälle: $$(R_1=0.5, R_2=1) \quad vs.\quad (R_1=1, R_2=0.5)$$ Ihre Lösungen für die beiden Fälle werden unterschiedlich sein, da: $$\frac{R_1}{R_2} \ne \frac{R_2}{R_1}$$ wohingegen wir wissen, dass dies ein symmetrisches Problem ist und der Wechsel von Fall 1 zu Fall 2 keinen Einfluss auf die Eigenfrequenz dieser Domäne haben sollte.