Oberfläche, die alle Strahlen auf einen einzigen Punkt bricht

Die geschlossene Kurve für Parameterwerte wie in der Abbildung gezeigt.

Nicht alle Kurven für verschiedene Werte von$\:k\:$akzeptablen Lösungen entsprechen. In der zweiten Abbildung oben sind die blauen Kurven akzeptabel, aber die grünen Kurven müssen als "Druckpunkt" zurückgewiesen werden$\:\rm A\:$in mittel 2.

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Beweis, dass akzeptierte Kurven dem Snellschen Gesetz gehorchen:

$$\begin{equation} n_{1}\sqrt{(x\!-\!a)^{2}+y^{2}}+n_{2}\sqrt{(x\!-\!b)^{2}+y^{2}}=k=ct_{\rm AB}=\text{constant} \qquad \Longrightarrow \nonumber \end{equation}$$ $$\begin{equation} \mathrm d \left[n_{1}\sqrt{(x\!-\!a)^{2}+y^{2}}+n_{2}\sqrt{(x\!-\!b)^{2}+y^{2}}\right]=\mathrm d k=0 \qquad \Longrightarrow \nonumber \end{equation}$$ ^{$$\begin{equation} n_{1}\left[\dfrac{(x\!-\!a)}{\sqrt{(x\!-\!a)^{2}+y^{2}}}\mathrm d x +\dfrac{y}{\sqrt{(x\!-\!a)^{2}+y^{2}}}\mathrm d y\right]+n_{2}\left[\dfrac{(x\!-\!b)}{\sqrt{(x\!-\!b)^{2}+y^{2}}}\mathrm d x +\dfrac{y}{\sqrt{(x\!-\!b)^{2}+y^{2}}}\mathrm d y\right]=0 \nonumber \end{equation}$$ $$\begin{equation} \qquad =\!=\!=\!=\!=\!=\!\Longrightarrow \hphantom{===================================================} \nonumber \end{equation}$$ $$\begin{equation} n_{1}\left[\dfrac{(x\!-\!a)}{\sqrt{(x\!-\!a)^{2}+y^{2}}} +\dfrac{y}{\sqrt{(x\!-\!a)^{2}+y^{2}}}\dfrac{\mathrm d y}{\mathrm d x}\right]+n_{2}\left[\dfrac{(x\!-\!b)}{\sqrt{(x\!-\!b)^{2}+y^{2}}}+\dfrac{y}{\sqrt{(x\!-\!b)^{2}+y^{2}}}\dfrac{\mathrm d y}{\mathrm d x}\right]=0 \nonumber \end{equation}$$} $$\begin{equation} \qquad \Longrightarrow \qquad n_{1}\left(\cos\omega_{1} +\sin\omega_{1}\tan\phi\right)+n_{2}\left(-\cos\omega_{2} +\sin\omega_{2}\tan\phi\right)=0 \nonumber \end{equation}$$ $$\begin{equation} \qquad \Longrightarrow \qquad n_{1}\left(\cos\omega_{1}\cos\phi +\sin\omega_{1}\sin\phi\right)-n_{2}\left(\cos\omega_{2}\cos\phi -\sin\omega_{2}\sin\phi\right)=0 \nonumber \end{equation}$$ $$\begin{equation} \qquad \Longrightarrow \qquad n_{1}\cos\left(\phi-\omega_{1}\right) -n_{2}\cos\left(\phi+\omega_{2}\right)=0 \nonumber \end{equation}$$ $$\begin{equation} \qquad \Longrightarrow \qquad n_{1}\sin\underbrace{\left[\dfrac{\pi}{2}-\left(\phi-\omega_{1}\right)\right]}_{\theta_{1}} -n_{2}\sin\underbrace{\left[\dfrac{\pi}{2}-\left(\phi+\omega_{2}\right)\right]}_{\theta_{2}}=0 \nonumber \end{equation}$$ das ist $$\begin{equation} n_{1}\sin\theta_{1} =n_{2}\sin\theta_{2} \qquad \textbf{(Snell's law)} \nonumber \end{equation}$$

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Nehmen Sie Ihren Ausdruck und setzen Sie ihn gleich einer Konstanten$C$. Square beide Seiten zu bekommen

$$\left({n \over c}\right)^2 \left( (x-a)^2+y^2 \right)+\left({m \over c}\right)^2 \left( (x-b)^2+y^2 \right)+ 2\left({nm \over c^2}\right)^2\sqrt{ \left( (x-a)^2+y^2 \right)} \sqrt{ \left( (x-b)^2+y^2 \right)}=C^2$$ Neu anordnen $$\left({n \over c}\right)^2 \left( (x-a)^2+y^2 \right)+\left({m \over c}\right)^2 \left( (x-b)^2+y^2 \right)-C^2= 2\left({nm \over c^2}\right)^2\sqrt{ \left( (x-a)^2+y^2 \right)} \sqrt{ \left( (x-b)^2+y^2 \right)}$$ Quadrieren Sie beide Seiten erneut, um alle Quadratwurzelzeichen loszuwerden und Terme zu sammeln. Ich lasse Sie die harte Arbeit machen. Dies ist technisch gesehen ein Viertel, aber es gibt Begriffe $y^4$, $y^2$Und $y^0$Das gibt Ihnen also tatsächlich eine quadratische Gleichung für $y^2$bezüglich $x,n,m,a,b$Und $C$, was du willst. Dann $y=\pm\sqrt{y^2}$was Ihnen die offensichtliche Symmetrie der Form über die gibt $y=0$Achse.

Die Lösung ist nicht eindeutig, sie hängt davon ab$C$. Sie können den Punkt wählen, an dem die Kurve die Achse schneidet.