Die Lösung ist eigentlich gar nicht so schlecht; Ich hatte das als Problem in der AP-Physik in der High School. Es hat nicht so viel Symmetrie wie eine konzentrische Schale, aber es hat immer noch viel Symmetrie - solange die Höhle und der umschließende Körper beide Kugeln sind und der umschließende Körper eine einheitliche Dichte hat, können Sie alles behandeln als rotationssymmetrisch um die Linie, die ihre Zentren verbindet.

Von dort aus können Sie die Höhle als einen Körper mit negativer Masse behandeln, dessen Schwerkraft zu der des umgebenden Körpers hinzugefügt wird. Das etwas überraschende Endergebnis ist, dass die Schwerkraft innerhalb einer kugelförmigen Höhle konstant und antiparallel zum Versatz des Höhlenzentrums vom Zentrum des umgebenden Körpers ist.

Aufgrund der Rotationssymmetrie können wir das Problem auf zwei Dimensionen reduzieren, um zu zeigen, dass das Feld tatsächlich überall in der Höhle konstant ist.

Lassen Sie den umschließenden Körper einen Radius haben$R$und Dichte$\rho$, der Versatz zwischen den Mitten sein$d < R$, und die Höhle haben einen Radius$r < R - d$. Das Gravitationsfeld innerhalb eines Körpers gleichförmiger Dichte ist$g \propto \rho x$. Auf 2 Dimensionen erweitert ist die gesamte Gravitationskraft$g \propto \rho \sqrt{x^2+y^2}$, aber zerlegt in Vektorkomponenten erhalten wir$g_x \propto \rho \sqrt{x^2+y^2}\cos\theta = \rho \sqrt{x^2+y^2} \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}} = \rho x$, und ähnlich$g_y \propto \rho y$. Die Schwerkraft aufgrund des negativen Körpers, der die Höhle erzeugt, wenn er dem umschließenden Körper hinzugefügt wird$g_x \propto -\rho (x-d)$und$g_y \propto -\rho y$. Wenn wir diese zusammenaddieren, erhalten wir die summierten Komponenten für den Nettogravitationsvektor$g_x \propto \rho x - \rho (x - d) = \rho (x - (x - d)) = \rho d$(dh eine Nicht-Null-Konstante) und$g_y \propto \rho y - \rho y = 0$.

Die Gesamtgravitation ist also achsengleich, konstant und nur von der Dichte der umgebenden Kugel und dem Exzenterabstand abhängig. Dies ist in der Tat die einzige Möglichkeit, die ich kenne, um ein exakt konstantes, gleichmäßiges Gravitationsfeld mit endlichen Materialmengen zu erhalten (die unendliche Option ist der Raum über einer unendlichen Ebene).

Um die tatsächliche Kraft zu erhalten (nicht nur ein Faktor, zu dem sie proportional ist), fügen Sie einen Faktor von hinzu$\frac{4 \pi G}{3}$bekommen$g = \frac{4 \pi G}{3}\rho d$.

Dies ist ein klassisches Problem in der Elektrostatik – das heißt in einer analogen Situation, in der wir uns darum kümmern, die elektrische Kraft auf ein Objekt in einem Hohlraum zu berechnen. Die gleiche Lösungstechnik gilt für die Newtonsche Gravitation, und sie beruht auf etwas, das Superposition genannt wird . Tatsächlich ist der Hohlraum wie ein Raumbereich innerhalb einer Kugel mit Massendichte$\rho$auf einen Punkt zentriert$\mathbf{p}$, in dem Sie eine kleinere Kugel mit Massendichte platziert haben$-\rho$auf einen Punkt zentriert$\mathbf{p}'$. Im Schnittbereich heben sich die beiden Dichten auf, sodass Sie eine Nettodichte von erhalten$0$.

Ein einfacherer Fall

Angenommen, wir haben einen Körper mit gleichmäßiger Dichte$\rho$. Wir können das sogenannte Gaußsche Gesetz für die Schwerkraft verwenden . Dies sollte nicht mit seinem Cousin verwechselt werden, dem Gaußschen Gesetz für die Elektrostatik - normalerweise nur "Gaußsches Gesetz" genannt - oder dem zugrunde liegenden mathematischen Satz hinter beiden, der als Divergenzsatz oder Gaußscher Satz bezeichnet wird. Unabhängig davon, wie Sie sich darauf beziehen möchten, lautet das Gesetz so:

$$\int_{\mathcal{S}}\mathbf{g}\cdot\mathrm{d}\mathbf{A}=-4\pi G\int_{\mathcal{V}}\rho\mathrm{d}V$$ wo$\mathcal{V}$ist eine Fläche mit Rand$\mathcal{S}$,$\mathbf{g}$ist das Gravitationsfeld und$d\mathbf{A}$ist ein Flächenelement. Dann gilt in unserem Fall einer gleichförmigen Kugel $$g(r)\cdot4\pi r^2=-4\pi G\rho\frac{4\pi}{3}r^3$$ und $$g(r)=-\frac{4\pi G\rho}{3}r$$ Wir wissen das$\mathrm{d}\mathbf{A}$zeigt radial nach außen, also auch$\mathbf{g}$durch sphärische Symmetrie usw $$\mathbf{g}(\mathbf{r})=-\frac{4\pi G\rho}{3}\mathbf{r}$$ wie behauptet.

Höhle modellieren

Das Prinzip der Superposition besagt, dass wir zur Berechnung des Gravitationsfeldes aufgrund zweier Objekte einfach die von jedem Objekt erzeugten Gravitationsfelder addieren können. Nennen wir diese Felder$\mathbf{g}_+$und$\mathbf{g}_-$, aus der Sphäre der Dichte kommend$\rho$und die Sphäre der Dichte$-\rho$, bzw. Jetzt wenden wir einfach das Ergebnis aus dem letzten Abschnitt an:

$$\mathbf{g}_+(\mathbf{r})=-\frac{4\pi G\rho}{3}(\mathbf{r}-\mathbf{p}),\quad\mathbf{g}_-(\mathbf{r})=\frac{4\pi G\rho}{3}(\mathbf{r}-\mathbf{p}')$$ Die gesamten Gravitationsfelder sind dann $$\mathbf{g}(\mathbf{r})=\mathbf{g}_+(\mathbf{r})+\mathbf{g}_-(\mathbf{r})=-\frac{4\pi G\rho}{3}(\mathbf{p}-\mathbf{p}')$$ was konstant, aber nicht null ist. Beachten Sie, dass, wenn die Kugeln konzentrisch sind,$\mathbf{p}-\mathbf{p}'=\mathbf{0}$und das Feld verschwindet - das gleiche Ergebnis wie beim guten alten Schalensatz.