Problem aus Purcell und Morin's Electricity and Magnetism: Halten der Ladung an Ort und Stelle

Dies ist das Problem, das im Buch über Elektrizität und Magnetismus von Purcell und Morin beschrieben wird. (Aufgabe 3.2 Wenn Sie das Buch haben)

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Figur:

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Ich konnte herausfinden, dass die Ladungen auf A, B, C, D nach dem Verbinden von C und D nicht gehalten werden können, denn wenn Sie eine Schleife von A nach C und zurück zu A durch die Drähte betrachten, für ein statisches elektrisches Feld, von Kirchhoffsche Schleifenregel,

∮ E → ⋅ D l → = 0

Wenn die Drähte keinen Widerstand haben, summieren sich die Potentialabfälle zwischen AC und BD und sind nicht Null. Die Ladungen verschwinden also, sobald C und D verbunden sind, um zu machen ∮ E → ⋅ D l → = 0

Aber auf welche Weise heben sie sich auf? Und ich konnte das nicht verstehen (in der Lösung angegeben):

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Werden induzierte Ladungen nicht gleich groß sein?

Ich habe die Hausaufgabenrichtlinien befolgt. Mein Zweifel bezieht sich auf ein bestimmtes Konzept. Ich habe auch meinen Versuch gezeigt.

Antworten (3)

Das Bild im Buch zeigt nicht alle Feldlinien. Es gibt einige Feldlinien von der positiv geladenen Kugel B zur negativ geladenen Kugel A, auch von der positiv geladenen Kugel C zur negativ geladenen Kugel D. Dies ist aus dem Überlagerungsprinzip ersichtlich (Elektrostatik ist alles linear, also Überlagerung von Feldern und Gebühren fallen im Allgemeinen an). Stellen Sie sich vor, es gibt nur die Kugeln A und B, dann gibt es sicherlich einige elektrische Feldlinien von B nach A. Die Bedeutung des rätselhaften Kommentars aus dem Buch ist, dass Kugel A mit beiden Kugeln C und B interagiert. Interaktion zwischen A und D, und zwischen C und B nicht zu einer starken vertikalen Komponente des elektrischen Felds führt, kann bei dieser Argumentation vernachlässigt werden.

Hier ist ein veranschaulichendes Diagramm der Verteilung des elektrischen Potentials, das auch einige elektrische Feldlinien zeigt, berechnet mit der Standardformel, aus vier Punktladungen, geladen wie in der Problemstellung. Wir können das vertikale elektrische Feld sehen, links nach oben und rechts nach unten.

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Wir schließen also, dass in diesem Aufbau ein elektrisches Feld von B nach A und von C nach D vorhanden ist. Sobald wir die Verbindungsdrähte hinzufügen, wird dieses elektrische Feld die Ladungen in den Drähten verschieben, bis sich alle Ladungen auf den Kugeln aufheben.

Ich denke, der Ansatz, den Sie wählen sollten, besteht darin, zu zeigen, dass die obige Situation ein instabiles Gleichgewicht ist. Überlegen Sie, was passiert, wenn Kugel A einen kleinen Überschuss an negativer Ladung hat. Dieser kleine Überschuss bewegt sich dann zu Kugel B und reduziert ihre positive Ladung. Dies führt dazu, dass Kugel D einen kleinen Überschuss an negativer Ladung hat, was dann dazu führt, dass sie sich zu Kugel C bewegt und ihre positive Ladung verringert. Dann hat die Kugel A wieder einen kleinen Überschuss an negativer Ladung. Dies wird so lange fortgesetzt, bis die Anklagen neutralisiert sind.

Wenn es sich um ein Gleichgewicht handelt, muss es instabil sein, da im System mehr potentielle Energie vorhanden ist als im neutralen Fall. Aber woher wissen wir, dass es sich um ein Gleichgewicht handelt?
Nicht unbedingt. Es könnte sich in einem metastabilen Zustand befinden (dh ein lokales Minimum, aber kein globales Minimum). Sie wissen, dass es im Gleichgewicht ist, weil A und B im Gleichgewicht waren, bevor C und D verbunden wurden. Symmetrie bedeutet, dass C und D nach dem Verbinden im Gleichgewicht sind.

Die Annahme von Ladungen auf C induziert die gleiche Menge an Ladungen auf A, bis C und D verbunden sind.

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Sobald C und D verbunden sind, da Ladungen auf C näher beieinander liegen als "der Abstand zwischen Ladungen auf C und Ladungen auf A", daher die selbstabstoßende Kraft auf C gewinnt;

Daher verringert die selbstabstoßende Kraft die Ladungsmenge auf C; und dann die, die die induzierten Ladungen auf A verursachen, jeweils abnehmen.

Der Prozess geht weiter und weiter, bis überall keine Nettogebühren mehr anfallen.

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