RC-Schaltung und Bessel-Filter finden die Grenzfrequenz

Nein, das funktioniert nicht so, wie ein anderer Kollege in einem anderen Beitrag von Ihnen darauf hingewiesen hat: der erste$RC$Abschnitt wird durch die Eingangsimpedanz des Sallen-Key-Filters belastet, sodass Sie ihn nicht vernachlässigen können. Sie könnten, wenn Sie das erste Netzwerk puffern würden, bevor Sie den zweiten Filter ansteuern. Eine andere Möglichkeit wäre, links von der Sallen-Key-Struktur zu beginnen und dann die zu füttern$RC$Filter. Betrachtet man eine 0-$\Omega$Ausgangsimpedanz für den Operationsverstärker, dann könnten Sie die Übertragungsfunktionen kaskadieren (multiplizieren).

Ich habe hier gezeigt , ohne eine einzige Zeile Algebra zu schreiben, wie Sie diese Übertragungsfunktion mit Hilfe der hier beschriebenen schnellen analytischen Schaltungstechnik bestimmen können . Unter Berücksichtigung gut getrennter realer Pole kann die Übertragungsfunktion angenähert werden als

und wenn Sie diesen Ausdruck zeichnen, haben Sie

Bearbeiten : Wie von LvW richtig unterstrichen, spiegelt die obige Anordnung keine Bessel-Übertragungsfunktion wider, sondern eine Reihe von 3 kaskadierten Polen. Die Übertragungsfunktion, die dieses Netzwerk beschreibt, gehorcht tatsächlich dem folgenden Ausdruck:$H(s)=\frac{1}{1+b_1s+b_2s^2+b_3s^3}$in welchem

$b_1=R_1C_1+(R_1+R_2+R_3)C_2$

$b_2=C_2(C_1R_1(R_2+R_3)+C_3R_3(R_1+R_2))$

$b_3=C_1C_2C_3R_1R_2R_3$

Die Übertragungsfunktion eines Bessel-Tiefpassfilters 3. Ordnung, normiert auf eine charakteristische Kreisfrequenz von 1 rad/s, ist gegeben durch$H(s)=\frac{1}{1+s+s^2\frac{6}{15}+\frac{s^3}{15}}$. Dieser Ausdruck kann in ein freundlicheres Format umgestaltet werden, da seine Wurzeln 1 echten Pol und 2 komplexe Pole umfassen:$H(s)\approx\frac{1}{(1+0.43s)(1+0.57s+0.155s^2)}$

Angenommen, wir möchten diesen Filter auf 1 kHz abstimmen, dann müssen Sie die Formel entsprechend skalieren:

$H(s)=\frac{1}{1+s\frac{1}{k}+s^2\frac{0.4}{k^2}+s^3\frac{0.067}{k^3}}$

was ungefähr gleich ist:

$H(s)\approx\frac{1}{(1+\frac{0.43}{k}s)(1+\frac{0.57}{k}s+\frac{0.155}{k^2}s^2)}$

mit$k=2\pi 1000=6.283\times 10^3$

Ich kann diese beiden Ausdrücke darstellen und sie geben identische dynamische Antworten in Größe und Phase:

Nun müssen die Bauteilwerte so bestimmt werden, dass die durch die Bauteilkombinationen ermittelten Koeffizienten zu:

$b_1=159\;ms$,$b_2=1.013\times 10^4\;µs^2$Und$b_3=2.688\times 10^{-13}s^3$

Dies ist ein System aus 3 Gleichungen/3 Unbekannten, wenn Sie es korrigieren$C_1$,$C_2$Und$C_3$zum Beispiel. Wenn Sie das Tool hier verwenden , dann haben Sie folgende Bauteilwerte für eine 1-kHz-Eigenfrequenz:

$R_1=9.1\;k\Omega$ $R_2=91\;k\Omega$ $R_3=36\;k\Omega$ $C_1=6.8\;nF$ $C_2=680\;pF$ $C_3=1.8\;nF$

Wenn Sie nun den hier ermittelten Ausdruck mit den obigen Komponentenwerten gegen die von uns abgeleitete Antwort der Bessel-Übertragungsfunktion 3. Ordnung auftragen, sind die Plots identisch: