Reicht die Wellengleichung von D'Alembert nicht aus, um zu erkennen, dass Galilei-Transformationen falsch sind?

Die D'Alembert-Gleichung für mechanische Wellen wurde 1750 geschrieben:

∂ 2 u ∂ x 2 = 1 v 2 ∂ 2 u ∂ t 2

(in 1D, v ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle)

Es ist nicht invariant unter einer Galileischen Transformation.

Warum war damals niemand darüber schockiert? Warum mussten wir mehr als hundert Jahre warten (Maxwellsche Gleichungen), um zu entdecken, dass Galileische Transformationen falsch sind? Könnten wir nicht schon sehen, dass sie falsch liegen, wenn wir uns die D'Alembert-Gleichung für mechanische Wellen ansehen? Übersehe ich etwas?

Können Sie erklären, warum Sie erwarten, dass die Gleichung für mechanische Wellen Galilei-invariant ist?
@ACuriousMind Weil mir tatsächlich etwas gefehlt hat! Jetzt fange ich an, das Problem hier zu verstehen. Nehmen wir an, ich befinde mich in einem Zug, der sich mit gleichmäßiger Geschwindigkeit auf einer linearen Schiene bewegt, und in diesem Zug habe ich einen großen luftdichten Behälter voller Luft. Wenn ich jetzt in diesem Behälter ein schallbezogenes Experiment durchführe , kann ich nicht feststellen, ob sich mein Labor in Bewegung befindet oder nicht, da sich das Medium, in dem sich die mechanische Welle ausbreitet, mit dem Referenzrahmen bewegt (oder nicht). des Labors. Das Problem ist, dass dies nicht mit Licht gemacht werden kann, weil es kein Medium gibt! Hab ich recht?
Haben Sie etwas dagegen, explizit zu zeigen, wie es nicht unveränderlich ist, um die Frage zu klären?
Überlegen Sie, wie komplex das Konzept der "Invarianz unter galiläischen Transformationen" ist. Gab es im 17. Jahrhundert überhaupt ein ähnliches Konzept einer „Transformation“? es ist ein durch und durch modernes Konzept. oder vielleicht wurde darüber in einem anderen historischen Kontext nachgedacht. man müsste Physikgeschichte sehr genau recherchieren, um richtig antworten zu können. Über die Wellengleichung wurde damals tatsächlich nachgedacht ...
@vzn Nun, Galileo Galilei schrieb seine Transformationen in einem 1638 veröffentlichten Buch, den "Discourses and Mathematical Demonstrations Relating to Two New Sciences" , also ja, ich glaube, es gab das Konzept der Transformation im 18. Jahrhundert. Das Problem ist für mich eher konzeptionell als einfach historisch.

Antworten (2)

Ihre Argumentation ist genau richtig und die D'Alembert-Gleichung ist in der Tat nicht galiläisch-invariant: Sie vermissen nichts außer etwas historischem Wissen; das ist auch nicht mein Spezialgebiet, aber ich glaube, ich kann antworten.

Diese nicht-galileische Invarianz wurde einfach als Beweis für die Existenz eines leuchtenden Äthers gewertet. Die D'Alembert-Wellengleichung beschreibt den Klang auch sehr gut, und es gibt hier natürlich kein Problem mit ihrer Nicht-Galilei-Invarianz: Das ist genau das, was Sie erwarten, wenn es einen "privilegierten" Rahmen gibt, der durch das Medium einer Welle definiert ist. Als die Maxwellschen Gleichungen entdeckt wurden, nahm die Physikergemeinde einfach an, dass sie nur für das relativ zum leuchtenden Äther ruhende Bezugssystem korrekt seien. Mitte des 19. Jahrhunderts hatten die meisten Forscher Galileos Relativitätspostulat zumindest für Licht aufgegeben. Dies war keine unvernünftige Haltung, bis sie durch Experimente wie das Michelson-Morely-Experiment entkräftet wurde:

Die Forscher haben das Relativitätsprinzip nicht aufgegeben. Sie setzten das Relativitätsprinzip mit der Invarianz unter Galilei-Transformationen gleich und waren fest davon überzeugt, dass die wahren Gesetze der Physik die Galilei-Invariante seien. Die Tatsache, dass die Maxwell-Gleichungen keine Galilei-Invariante sind, impliziert also nur, dass sie keine wahren Gesetze der Physik sind, genauso wie die Tatsache, dass die Schallwellengleichung keine Galilei-Invariante ist, impliziert, dass sie kein wahres Gesetz der Physik ist. Um Galileische Invariantengesetze zu erhalten, müssen Sie Terme abhängig von der Äthergeschwindigkeit hinzufügen: physical.stackexchange.com/q/378861/27396
Gerade wegen ihres Glaubens an die Galileische Invarianz dachten sie, dass die Lichtgeschwindigkeit nicht in allen Frames gleich sein würde und dass das Michelson-Morley-Experiment in der Lage sein würde, die Geschwindigkeit des Äthers zu bestimmen. Und deshalb war es ein Schock, als das Michelson-Morley-Experiment ein Nullergebnis lieferte, weil das scheinbar das Relativitätsprinzip (das sie wiederum mit der Galileischen Invarianz gleichsetzten) außer Kraft setzte. Aber dann hat Einstein gezeigt, dass es das Relativitätsprinzip überhaupt nicht ungültig macht, Sie müssen nur Ihre Vorstellungen von Raum und Zeit ändern.

Es gibt kein Problem mit der Nicht-Invarianz der D'Alembert-Gleichung für mechanische Wellen, wenn ich verstehe, was Sie meinen, weil mechanische Wellen einen bevorzugten Trägheitsrahmen haben , einen "Äther".

Beispielsweise erfüllt eine Schallwelle in einer Flüssigkeit die Wellengleichung mit Geschwindigkeit:

c 2 = ( ∂ p ∂ ρ ) s
im Ruhesystem der Flüssigkeit.

Der Punkt ist, dass Maxwells Gleichungen in jedem Trägheitsbezugssystem gültig sein sollen. Da sie im Vakuum auf die Wellengleichung führen, muss die Wellengleichung in jedem Inertialsystem gelten, das ist das Problem.

Reicht die Wellengleichung von D'Alembert nicht aus, um zu erkennen, dass Galilei-Transformationen falsch sind?
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