Rotierende Referenzrahmen

$\def\m{\mathbf}$Koordinatenvektor eines Punktes im statischen Rahmen:$r^s$

Koordinatenvektor desselben Punktes im rotierenden Rahmen:$r^r$

(Reine Rotation, beide Frames haben den gleichen Ursprung.)

Koordinatentransformation (Rotationsmatrix):$R$

Die Matrix ist orthogonal, dh$R^TR=RR^T=\m1$(die Einheitsmatrix)

Wichtige Eigenschaft:$\m0=\frac{d}{dt} \m1 = \frac{d}{dt} (R^TR) = \dot R^T R + R^T \dot R$

Das bedeutet die Matrix$\m\Omega := R^T\dot R$ist antisymmetrisch$\m\Omega = -\m\Omega^T$(mit nur drei relevanten Komponenten$\Omega_1 := \m\Omega_{32}, \Omega_2 := \m\Omega_{13}, \Omega_3:=\m\Omega_{21}$) und die Produkte$\m\Omega v$kann mit dem Vektor ausgedrückt werden$\Omega=(\Omega_1,\Omega_2,\Omega_3)$als$\Omega\times v$.

Koordinatenvektor im Drehrahmen:

$$r^s = R\cdot r^r$$

Geschwindigkeit, zeitliche Ableitung im statischen Rahmen:

$$v_s^s := \frac{d r^s}{dt} = \dot R\;r^r + R\;\dot r^r$$

Anwenden$R^T$zu dieser Gleichung:

$$R^T v_s^s = R^T\dot R\;r^r + \dot r^r$$

Sie sehen, wie Sie die Geschwindigkeit transformieren$v_s^s$in den Drehrahmen (dasselbe wo auch$r^r$Leben). Der richtige Name in unserer Nomenklatur für die im statischen Koordinatensystem berechnete und in das rotierende übertragene Zeitableitung wäre$v_s^r = R^T v_s^s$.

Damit erhalten Sie Ihre Formel

$$v_s^r = \Omega \times r^r + \dot r^r.$$

Lassen Sie mich Ihnen zuerst die Mathematik zeigen: Ihre Position im rotierenden Rahmen sein$\vec x_\text r$wo im statischen Rahmen es sein$\vec x_\text s$. Jetzt ist die Geschwindigkeit:

$$\vec v_\text s = \frac{\mathrm d}{\mathrm dt} \vec x_\text s.$$

Das sollte in Ordnung sein. Um nun zum rotierenden Rahmen zu gelangen, müssen wir die Notation ein wenig erweitern. Wir müssen uns die Einheitsvektoren ansehen und den Ortsvektor in Komponenten zerlegen:

$$\vec x_\text s = \sum_{i=1}^3 {x_\text s}_i \vec e_i,$$ Wo $\vec e_i$sind die Einheitsvektoren des Bezugssystems. Im statischen Rahmen sind dies: $$\vec e_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix},\quad \vec e_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix},\quad \vec e_3 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$$

Sie hängen nicht von der Zeit ab, also müssen Sie das nicht berücksichtigen, wenn Sie eine Zeitableitung machen.

Der rotierende Rahmen hat Einheitsvektoren, die zeitabhängig sind, Sie haben die folgende Produktregel:

$$\vec v_\text r = \frac{\mathrm d}{\mathrm dt} \sum_{i=1}^3 {x_\text r}_i \vec e_i = \sum_{i=1}^3 \left( {\dot x_\text r}_i \vec e_i + {x_\text r}_i \dot{\vec e}_i \right)$$

Der letzte Begriff ist, wo Ihr$\Omega \times$kommt ins Spiel. Siehe Ableitung der Zentrifugal- und Corioliskraft für die verbleibende Ableitung.

Wenn Sie dieses Problem auf andere Weise betrachten möchten, können Sie zur Notation komplexer Zahlen wechseln (da dies ein planares Problem ist).

Wenn im nicht rotierenden System die Position der Rakete ist$z=\gamma (t)$, dann in einem mit konstanter Winkelgeschwindigkeit rotierenden System$-\omega$, du hast$z=e^{i\omega t}\gamma(t)$. Wenn$\gamma (t)=vt$, Dann

$$z=e^{i\omega t}vt=k\theta \,e^{i\theta},\qquad \text{with }k=\frac{v}{\omega},$$ das ist, wie Sie sagten, eine Spirale.