Schneller als leichte Galaxien/Haufen?

Die Geschwindigkeitsberechnung war Distanz*(Winkeländerung). Dies berücksichtigt jedoch nicht die sich ändernde Zeitverzögerung des Lichts: Wir sehen es beschleunigt, weil die Zeitverzögerung abnimmt, wie bei einer Fernsehaufnahme, bei der Sie schnell vorspulen, während Sie allmählich die Echtzeit einholen. Glücklicherweise müssen wir zur Berechnung der tatsächlichen Geschwindigkeit nur die Zeitverzögerung berücksichtigen, es ist keine seltsame Relativitätstheorie erforderlich.

Angenommen, ein weit entferntes Objekt nähert sich$0.8c$und hat eine Quergeschwindigkeit von$0.25c$(Gesamtgeschwindigkeit von$0.84c$). Es gibt zur Zeit einen Lichtstoß (in unserem Rahmen) ab$t$Und$t+5$Sekunden. Es ist$d$Lichtsekunden von uns entfernt$t$Und$d-4$bei$t+5$. Unter Berücksichtigung der Zeitverzögerung des Lichts sehen wir Blitze zur Zeit$t+d$Und$t+5+(d-4) = t+d+1$; wir sehen sie nur$1$Sekunde auseinander. In denen$5$Sekunden bewegte es sich quer über eine Distanz von$5\times0.25 = 1.25$leichte Sekunden. Da schien es sich zu bewegen$1.25$Lichtsekunden in$1$Zweitens sehen wir eine scheinbare superluminale Bewegung.

Auf diese Frage gibt es bereits zwei gute Antworten, aber ich brauchte einen Vorwand, um Tikz zu lernen, also hier ist meine Antwort.

Diese "Quergeschwindigkeit" kann schneller sein als die Lichtgeschwindigkeit$c$wenn das Objekt schnell genug auf Sie zukommt. Um zu sehen, wie das funktioniert, sehen Sie sich das Diagramm unten an.

Hier bewegt sich das Objekt mit einer Geschwindigkeit$\beta c$, aber es bewegt sich nicht senkrecht zu Ihrer Sichtlinie. Es bewegt sich schräg$\theta$zur Sichtlinie.

Wie würde die Geschwindigkeit dieses Objekts geschätzt? Ein naiver Weg wäre, die beobachtete Querverschiebung durch die beobachtete Zeitdauer zu dividieren.

Mal sehen, was diese beiden Größen sind, wenn die tatsächliche Zeitdauer ist$T_{\mathrm{actual}}$. In dieser Zeit bewegt sich das Objekt um eine tatsächliche Distanz$v T_{\mathrm{actual}}$. Seine scheinbare Querverschiebung wird sein$d=v T_{\mathrm{actual}} \sin \theta$.

Was wird die beobachtete Zeitdauer sein? Es wird nicht sein$T_{\mathrm{actual}}$weil die Lichtstrahlen von der Endposition gegenüber den Lichtstrahlen von der Anfangsposition einen Vorsprung haben. Die Länge dieses Vorsprungs beträgt$v T_{\mathrm{actual}} \cos \theta$. Da bewegt sich Licht an$c$, dies bedeutet eine Zeitbeschleunigung von$v T_{\mathrm{actual}} \cos \theta /c$. So viel schneller als es "sollte" kommt das letzte Licht dort an. Somit ist die beobachtete Zeitdifferenz um diesen Betrag kürzer als die tatsächliche Zeitdifferenz. Wir erhalten, dass der beobachtete Zeitunterschied ist$T_{\mathrm{observed}} = T_{\mathrm{actual}} - v T_{\mathrm{actual}} \cos \theta /c = T_{\mathrm{actual}}(1 - v \cos \theta /c)$.

Die beobachtete Geschwindigkeit ist dann$\frac{v T_{\mathrm{actual}} \sin \theta}{T_{\mathrm{actual}}(1 - v \cos \theta /c)} =\frac{v \sin \theta}{1 - \frac{v}{c} \cos \theta}$. Einstecken$v=\beta c$, erhalten wir, dass die beobachtete Geschwindigkeit ist$c \frac{\beta \sin \theta}{1-\beta \cos \theta}$. Um eine beobachtete Geschwindigkeit größer als zu erhalten$c$, wir brauchen$\frac{\beta \sin \theta}{1-\beta \cos \theta}>1$. Pflücken$\theta = 45^\circ$, das wird$\frac{\beta } {\sqrt{2}-\beta }>1$. Diese Ungleichheit wird z$\beta > \frac{1}{\sqrt{2}}$, so dass Überlichtgeschwindigkeiten "beobachtet" werden können.

Tolle Antwort @Kevin, ich werde es nur in anderen Buchstaben umschreiben.

Hinweis: Im Folgenden wird nur die klassische Mechanik angewendet.

Angenommen, ein weit entferntes Objekt hat eine zufriedenstellende Geschwindigkeit (in Einheiten, in denen Lichtgeschwindigkeit$c:=1$)

$$v^2 = v_{\perp}^2+v_{\|}^2<1^2\tag1$$ Wo $v_{\perp}$bezeichnet seine senkrecht (zu unserer Sichtlinie) Geschwindigkeit und $v_{\|}$seine Geschwindigkeit parallel zu unserer Sichtlinie. Es gibt manchmal einen Lichtstoß (in unserem Rahmen) ab $t$Und $t+\tau.$

Wenn$d_t$gibt die Entfernung zum Objekt zum Zeitpunkt an$t$, dann seine Entfernung zur Zeit$t+\tau$Ist

$$d_{t+\tau} = d_t-v_{\|}\tau.$$

Wann erreicht uns das Licht?

Das zur Zeit ausgestrahlte Licht$t$wird uns rechtzeitig erreichen

$$t+d_t$$ (Zumindest, da seine Entfernung war $d_t$und nichts reist schneller als Licht).

Das zur Zeit ausgestrahlte Licht$t+\tau$wird uns rechtzeitig erreichen

$$t+\tau+d_{t+\tau}$$ aber das ist gleich $$t+\tau +(d_t-v_{\|}\tau).$$

Wir werden also zwei Lichtblitze sehen, die durch eine Zeit getrennt sind

$$\Delta t = t+\tau +(d_t-v_{\|}\tau) - \big[t+d_t\big]\\=\tau\cdot(1-v_{\|}).$$

Während der Zeit der Größe$\tau$, hat sich das Objekt um eine Strecke von bewegt

$$d_{\perp} = v_{\perp}\cdot \tau,$$ senkrecht zu unserer Sichtlinie. Aber da sehen wir die Blitze mit der Zeit erscheinen $\Delta t$Abgesehen davon berechnen wir die (scheinbare) Quergeschwindigkeit des zu seinden Objekts $$v_{\perp}^a(v_\perp,v_\|) = \frac{d_{\perp}}{\Delta t}\\ =\frac{v_{\perp}}{1-v_{\|}}$$ Wo $v_\perp,v_\|$(sollte im Prinzip) Bedingung erfüllen $(1).$

Stecken Sie jetzt einige Zahlen ein, z$v_\perp=\frac{1}{4}$Und$v_\|=\frac{4}{5}$wir bekommen

$$v_{\perp}^a(1/4,4/5) = \frac{5}{4}>1.$$ Diese ist größer als 1 (d. h. größer als die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum). $c$) könnte dann als Überlichtbewegung interpretiert werden.