Schwerkraft in einer Minecraft-Welt?

Es wäre 6.378 km tief. Die gleiche Tiefe wie der Radius der Erde.

Die Mathematik

Um die Schwerkraft einer unendlich flachen Ebene zu berechnen, müssen wir einfach die Kraft integrieren, die von konzentrischen Ringen von einem Radius von null bis unendlich gefühlt wird.

Dies ist eine grundlegende Praxis in College-Physikkursen und wird hier demonstriert . Es stellt sich heraus, dass die Kraft auf eine Masse über der Ebene gleich ist:

$$F = 2\pi Gm\rho_a h \int_0^\infty {{R}\over{(h^2+R^2)^{3/2}}}dR = 2\pi G \rho_a m$$

Die Kraft ist also unabhängig vom Abstand zur Oberfläche! Das ist sinnvoll, denn je weiter man sich von der Ebene entfernt, desto mehr Gravitationskraftvektoren von der umgebenden Masse zeigen zurück zur Ebene. Das heißt, die vertikale Komponente aller Gravitationsvektoren wird größer. Die einzigen Faktoren, die für die Kraft von Bedeutung sind, sind die Gravitationskonstante, die Dichte der Ebene und die Masse des Objekts. Lassen wir die Gravitationskonstante in Ruhe und spielen mit der Dichte der Ebene. Die Masse des Objekts spielt hier keine Rolle, kann aber der Einfachheit halber auf eins gesetzt werden.

Die Dichte

Damit die Gravitationskraft gleich der Erdanziehungskraft ist, müssen wir einstellen$2\pi G \rho_a$Begriff gleich$9.8{{m}\over{s^2}}$. Das kommt von$F = ma$, wo$m$ist die Masse des Objekts und$a$ist die Erdbeschleunigung.

Daher,$\rho_a$, muss die Massendichte pro Flächeneinheit sein$2.34 * 10^{10} {kg\over{m^2}}$. Das ist wirklich hoch, aber mal sehen, wo es hinführt.

Die Tiefe

Diese Ebene ist unendlich dünn, daher ist die Massendichte pro Flächeneinheit, nicht pro Volumeneinheit. Dies ist eigentlich kein Problem, es ist trivial zu sehen, dass das Hinzufügen einer weiteren unendlichen Ebene unterhalb dieser ersten einfach Gravitationskraft hinzufügt. Das heißt, es spielt eigentlich keine Rolle, ob die Ebene unendlich dünn oder einen Kilometer dick ist, es hängt nur von der Massendichte einer Scheibe dieser Ebene ab.

Vom Volumen

Wir kennen die Dichte der Erde (wie Erde, Felsen usw. - das Material der Ebene) in Bezug auf das Volumen, aber was ist mit der Fläche? Die Umrechnung ist$\rho_v = {{\rho_a}\over D}$wo$\rho_v$und$\rho_a$sind Massendichte für Volumen bzw. Fläche und$D$ist die Tiefe der Ebene$^1$. Wenn wir also die Volumendichte anstelle der Flächendichte in der Gleichung verwenden, muss sie mit der Tiefe multipliziert werden. Noch nicht spotten, das funktioniert.

Die durchschnittliche Dichte der Erde beträgt$5540 {kg\over m^3}$, aber die Kruste, in der wir leben, hat eine Dichte von etwa$2700 {kg\over m^3}$. Mischen wir es ein bisschen durch und machen die Welt ein wenig eisenreich und sagen, die Dichte ist$3668 {kg\over m^3}$.

Wenn die Oberflächendichte ist$2.34 * 10^{10} {kg\over{m^2}}$und die Volumendichte ist$3668 {kg\over m^3}$dann muss die Tiefe 6.378 km betragen. Das ist der Radius der Erde.

Ok, also habe ich die Dichte verfälscht, um diese Antwort zu bekommen. Große Sache. Wählen Sie eine beliebige Dichte und ändern Sie die Arbeitstiefe.

Von Gewalt

Willst du das nochmal überprüfen? Dem können wir bei einer Flächendichte von zustimmen$3668{kg\over m^2}$, wäre die Schwerkraft über der Ebene aus der ersten Gleichung$1.538 * 10^{-6} {m\over{s^2}}$. Eine sehr geringe Menge an Schwerkraft.

Aber wie dick ist das Flugzeug? Ich sage einen Meter, siehe Fußnote 1. Obwohl jede Dicke funktioniert, aber unsere Einheiten sind bereits in Metern, also warum nicht.

Nun können wir uns auch darauf einigen, dass, wenn ein identisches Flugzeug irgendwo unter diesem ersten wäre, sich seine Gravitationskraft mit der ersten addieren würde. Genauso wie der ganze Dreck unter uns zu der gesamten Schwerkraft beiträgt, die wir fühlen. Denken Sie daran, dass die Entfernung von der unendlichen Ebene keine Rolle spielt, die Schwerkraft ist auf dem ganzen Weg nach oben gleich.

Wie viele dieser einen Meter dicken Flugzeuge müssen also unter dem obersten liegen, um zusammen eine Kraft von zu ergeben?$9.8{{m}\over{s^2}}$? Sie haben es erraten, 6.378.000 oder 6.378 km tief, wenn man sie übereinander stapelt.

$$1.538 * 10^{-6} {m\over{s^2}} * 6,378,000 = 9.8 {m\over{s^2}}$$

Warte, was ist mit 1/2-Meter-Flugzeugen? Ok, also 1/2 der Dichte und doppelt so viele Flugzeuge. Gleiche Tiefe, gleiche Schwerkraft.

Warte, was ist mit 1/x-Meter-Flugzeugen? Ok, also 1/x die Dichte und x die Anzahl der Ebenen dann. Gleiche Tiefe, gleiche Schwerkraft.

Lustige Tatsache

Die Schwerkraft erstreckt sich unendlich in alle Richtungen. Das bedeutet, dass beide Seiten dieser Welt Erdoberflächengravitation haben werden. Die Menschen, die auf der anderen Seite leben, heißen Australier.

Fußnote

1: Die Masse einer der Scheiben ist gleich der Massendichte pro Flächeneinheit mal der Fläche,$M = \rho_a A$. Die Massendichte eines Volumens ist Masse pro Volumeneinheit,$\rho_v = {M\over V}$. Volumen kann als Fläche mal Tiefe ausgedrückt werden,$V = A*D$. Wir können also sagen, dass die Massendichte des Volumens ist$\rho_v = {M\over {A*D}}$Die Volumendichte der Ebene wäre dann$\rho_v = {{\rho_a A}\over {A*D}}$oder$\rho_v = {{\rho_a}\over D}$. Für eine Tiefe von 1 Meter wäre dann die Massendichte des Volumens gleich der Massendichte der Fläche.

Wenn ich darf, werde ich eine (glaube ich) etwas einfachere Ableitung der Antwort vornehmen.

Wir beginnen mit dem Gaußschen Gravitationsgesetz . In seiner integralen Form ist es

$$\oint_{\partial V}\mathbf{g}\cdot \mathrm{d}\mathbf{A}=-4\pi GM$$ Hier, $\mathbf{g}$und $\mathrm{d}\mathbf{A}$sind vektorielle Größen der Erdbeschleunigung und einer infinitesimalen vektoriellen Flächenänderung. $\partial V$ist Teil der Oberfläche, die ein Volumen umfasst – in diesem Fall eine Gaußsche Pillbox (siehe Beispiel 4.2). Da die Oberfläche vermutlich von gleichmäßiger Flächendichte ist, $\mathbf{g}$muss in jeder Region gleich sein, und daher $\mathbf{g}$ist unabhängig von $\mathbf{A}$¹ . Damit können wir das Integral als ^{1 schreiben} $$\int_{\partial V}||\mathbf{g}||\text{ }||\mathrm{d}\mathbf{A}||\cos\theta=-4\pi GM$$ Weil $\theta=0$, und so $\cos\theta$geht zu $1$. Wir bekommen dann $$\int_{\partial V}||\mathbf{g}||\text{ }||\mathrm{d}\mathbf{A}||=||\mathbf{g}||\int_{\partial V}\mathrm{d}\mathbf{A}=g(2\pi r^2)=-4\pi GM$$ wo $g=||\mathbf{g}||$. Der Faktor von $2$entstand aus der Nutzung des Gaußschen Bunkers für das Gebiet. Wir haben dann $$g=-\frac{4\pi GM}{2\pi r^2}=-2\pi G\frac{M}{\pi r^2}=-2\pi G\sigma$$ wo $\sigma$ist die Oberflächenmassendichte, Samuel's $\rho_{\alpha}$. Wir sind auf etwas anderen Wegen als Samuels Antwort dorthin gekommen , indem wir diese Integration umgangen haben (was wirklich nicht so schlimm ist). Wir haben auch das Postulat that verwendet $\mathbf{g}$(und somit $g$) ist ortsunabhängig, was auf einer unendlichen Ebene durchaus Sinn macht.

Von hier aus ist es einfach, die Höhe des Flugzeugs zu finden, indem Sie verwenden

$$\rho=\frac{\sigma}{h}\to h=\frac{\sigma}{\rho}\approx R_{\text{Earth}}$$

Dies ist ein direktes Analogon zum Finden der Ladungsdichte auf einer unendlichen Ebene - oder umgekehrt, zum Finden des elektrischen Felds an einem Punkt auf einer unendlichen Ebene aufgrund einer Ladungsdichte. Ebenso können wir der unendlichen Ebene eine Dichte geben und dann die Gravitationsbeschleunigung an ihrer Oberfläche finden.

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¹ Für zwei Vektoren$\mathbf{a}$und$\mathbf{b}$, ist das Skalarprodukt äquivalent zu

$$||\mathbf{a}||\text{ }||\mathbf{b}||\cos\theta$$ wo $\theta$ist der Winkel dazwischen $\mathbf{a}$und $\mathbf{b}$, und $||\text{ }||$bezeichnet den Betrag eines Vektors.