Sind der linke Unitor und der rechte Unitor in einer symmetrischen monooidalen Kategorie verwandt?

Können wir , ausgehend von den Axiomen einer symmetrischen monooidalen Kategorie, irgendetwas darüber sagen, ob die linke Einheit mit der rechten Einheit verwandt ist?

Wir haben die Morphismen (unter Verwendung der Notation als nlab)

λ 1 : 1 ⊗ 1 → 1
ρ 1 : 1 ⊗ 1 → 1
Das erscheint mir erstrebenswert
λ 1 = ρ 1 B 1 , 1
hält. Aber das scheint nicht impliziert zu sein.

Der Grund dafür ist folgender: würde man nicht eine kanonische Wahl des Isomorphismus wollen

1 ⊗ 1 ≃ 1 ?

@Arnaud Sie sollten dies wahrscheinlich als Antwort posten, da es eine Antwort ist (und eine gute imo)
@MarkKamsma Das nLab gibt leider keinen Beweis für das geflochtene Gehäuse. Da die Diagramme etwas zu groß sind, um sie zu reproduzieren, habe ich die entsprechenden Referenzen als Antwort gepostet.

Antworten (1)

Eigentlich, λ ICH Und ρ ICH in jeder monooidalen Kategorie gleich sind, und λ X = ρ X B 1 , X in jeder symmetrischen monooidalen Kategorie, obwohl dies nicht ganz offensichtlich ist. Tatsächlich forderte Mac Lane diese ursprünglich als Axiome, und auch das λ A ⊗ B ∘ a ICH , A , B = λ A ⊗ B Und A ⊗ ρ B ∘ a A , B , ICH = ρ A ⊗ B , aber Kelly zeigte, dass alle diese Identitäten aus den Dreieck-, Fünfeck- und Sechseckdiagrammen abgeleitet werden können:

Über MacLanes Bedingungen für die Kohärenz natürlicher Assoziativitäten, Kommutativitäten usw. , GM Kelly, 1964, Journal of Algebra 1, S. 397-402

Das Argument ist auch im nLab zu finden .

Später haben Joyal und Street das bewiesen λ X = ρ X B 1 , X hält sogar in geflochtenen monooidalen Kategorien:

Geflochtene Tensorkategorien , A. Joyal und R. Street, 1993, Advances in Mathematics 102, S. 20-78

Sind der linke Unitor und der rechte Unitor in einer symmetrischen monooidalen Kategorie verwandt?
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