Spezielle Relativitätstheorie und E=mc2E=mc2E = mc^2

Das habe ich irgendwo gelesen$E=mc^2$zeigt, dass, wenn sich etwas schneller als die Lichtgeschwindigkeit fortbewegen würde, sie unendliche Masse hätten und unendliche Energie verbraucht hätten.

Nein, nicht wahr. Aus ein paar Gründen, aber lassen Sie mich zuerst erklären, was$E = mc^2$bedeutet in der modernen Physik.

Die gleichung$E = mc^2$selbst gilt nur für ein ruhendes, dh sich nicht bewegendes Objekt. Für sich bewegende Objekte gibt es eine allgemeinere Form der Gleichung,

$$E^2 - p^2 c^2 = m^2 c^4$$

($p$ist Impuls), aber mit ein wenig Algebra können Sie dies umwandeln in

$$E = \gamma mc^2$$

Wo$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}$. Dieser Faktor$\gamma$, manchmal auch als relativistischer Dilatationsfaktor bezeichnet, ist eine Zahl, die von der Geschwindigkeit abhängt. Los geht es bei$\gamma = 1$Wenn$v = 0$, und nimmt mit zunehmender Geschwindigkeit zu. Als Geschwindigkeit$v$kommt immer näher$c$,$\gamma$nähert sich der Unendlichkeit. Mit diesem Wissen bewaffnet schauen sich manche Leute die Formel an$E = \gamma mc^2$und sagen Sie das ganz klar, wenn ein massives Objekt Lichtgeschwindigkeit erreichen würde, dann$\gamma$wäre unendlich und somit wäre die Energie des Objekts unendlich. Aber das ist nicht wirklich wahr; Die korrekte Interpretation ist, dass es für ein massives Objekt unmöglich ist, sich mit Lichtgeschwindigkeit fortzubewegen. (Es gibt andere, mathematisch kompliziertere, aber überzeugendere Möglichkeiten, dies zu zeigen.)

Um das Ganze abzurunden, gibt es ein veraltetes Konzept namens "relativistische Masse", das sich hier einmischt. In den frühen Tagen der Relativitätstheorie schrieb man Einsteins berühmte Formel als$E = m_0 c^2$für ein Objekt in Ruhe, und$E = m_\text{rel}c^2$für ein Objekt in Bewegung, wo$m_\text{rel} = \gamma m_0$. (Der$m$Ich schrieb in den vorherigen Absätzen entspricht$m_0$in diesem Absatz.) Diese Menge$m_\text{rel}$war die relativistische Masse, eine Eigenschaft, die mit zunehmender Geschwindigkeit eines Objekts zunimmt. Wenn Sie also dachten, dass ein Objekt unendliche Energie hätte, wenn es sich mit Lichtgeschwindigkeit bewegte, dann würden Sie auch denken, dass seine relativistische Masse unendlich werden würde, wenn es sich mit Lichtgeschwindigkeit bewegte.

Oft wurden die Leute faul und vernachlässigten das tiefgestellte "rel", was viele Leute dazu veranlasste, die beiden verschiedenen Massenarten zu verwechseln. Daraus würden Sie Aussagen wie "ein Objekt, das sich mit Lichtgeschwindigkeit bewegt, hat unendliche Masse" erhalten (ohne klarzustellen, dass die relativistische Masse diejenige war, die sie meinten). Nach einer Weile erkannten die Physiker, dass die relativistische Masse eigentlich nur ein anderer Name für Energie war, da sie immer proportional ($E = m_\text{rel}c^2$), also haben wir die Idee der relativistischen Masse vollständig abgeschafft. Heutzutage „Masse“ bzw$m$bedeutet nur Ruhemasse und so$E = mc^2$gilt nur für ruhende Objekte. Sie müssen eine der allgemeineren Formeln verwenden, wenn Sie mit einem sich bewegenden Objekt umgehen wollen.

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Damit das aus dem Weg geräumt ist: Leider verwendet die Passage, die Sie aus Hawkings Buch zitiert haben, die alte Konvention, in der sich "Masse" auf relativistische Masse bezieht. Die von ihm erwähnte „Äquivalenz von Energie und Masse“ ist eine Äquivalenz von Energie und relativistischer Masse, ausgedrückt durch die Gleichung$E = m_\text{rel}c^2$. Unter diesen Definitionen ist es wahr, dass die (relativistische) Masse eines Objekts, das sich der Lichtgeschwindigkeit nähert, sich der Unendlichkeit nähern würde (dh unbegrenzt ansteigen würde). Technisch ist es nicht falsch, weil Hawking das Konzept richtig verwendet, aber es entspricht nicht der Art und Weise, wie wir heutzutage in der Physik Dinge tun.

Mit dem modernen Sprachgebrauch könnte ich diesen Absatz jedoch wie folgt umformulieren:

Da Energie zur Trägheit (Beschleunigungswiderstand) eines Objekts beiträgt, hat das Hinzufügen einer festen Energiemenge weniger Auswirkungen, wenn sich das Objekt schneller bewegt. Dieser Effekt ist nur für Objekte von Bedeutung, die sich mit Geschwindigkeiten nahe der Lichtgeschwindigkeit bewegen. Bei 10 Prozent der Lichtgeschwindigkeit braucht es nur 0,5 Prozent mehr Energie als normal, um eine bestimmte Geschwindigkeitsänderung zu erreichen, aber bei 90 Prozent der Lichtgeschwindigkeit würde es doppelt so viel Energie brauchen, um die gleiche Änderung zu erzeugen . Wenn sich ein Objekt der Lichtgeschwindigkeit nähert, steigt seine Trägheit immer schneller an, sodass immer mehr Energie benötigt wird, um es um immer kleinere Beträge zu beschleunigen. Es kann daher nicht die Lichtgeschwindigkeit erreichen, da dafür unendlich viel Energie benötigt würde.

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Haftungsausschluss: Alles, was ich hier gesagt habe, gilt für ein fundamentales Teilchen oder Objekt, das sich in einer geraden Linie bewegt. Wenn Sie beginnen, Partikel mit Komponenten zu betrachten, die sich relativ zueinander bewegen können, erlebt die Idee der relativistischen Masse ein gewisses Comeback ... irgendwie. Aber das ist eine andere Geschichte.

Ich würde die Beschränkung der Geschwindigkeit, mit der sich Objekte bewegen können, auf eines der beiden Postulate zurückführen, die Einstein früher hergeleitet hat$E=mc^2$.

Ich wünsche Einsteins ursprüngliche Ableitung von$E=mc^2$wurde in den Schulen unterrichtet! Es ist so ein erstaunliches Stück Arbeit, wenn man es im Detail durchgeht. Aber es ist auch kryptisch und springt sehr schnell durch Ideen, die Einstein anscheinend ziemlich "offensichtlich" erschienen, die aber für den Rest von uns weit davon entfernt sind.

Jedenfalls hat er es im Laufe von zwei Arbeiten hergeleitet. Der erste definierte die spezielle Relativitätstheorie, während der zweite und sehr kurze seine berühmte Gleichung herleitete. Es wurde ursprünglich verwendet$L$für$E$, und Einstein hat es nie ganz so geschrieben, wie wir es gewohnt sind.

Seine erste Arbeit begann mit zwei einfachen Postulaten, die lauten:

(1) Kein Test der Mechanik oder Optik ändert sich, wenn Sie sich ohne Beschleunigung bewegen, und

(2) Die Lichtgeschwindigkeit ist immer konstant, wenn sie von einem solchen beweglichen Koordinatensystem aus gemessen wird.

Erstaunlicherweise ist das alles, was benötigt wird.[1]

Wenn Sie jetzt mit dem Finger darauf zeigen wollen, wo genau die Idee, dass Sie nicht schneller als Licht reisen können, aus der speziellen Relativitätstheorie hervorgeht, würde ich auf das zweite von Einsteins Postulaten verweisen: Jedes Einzelbild sieht die gleiche Lichtgeschwindigkeit.

Warum ist das wichtig? Stellen Sie es sich so vor: Wenn Licht immer bei reisen muss$c$Was passiert aus Ihrer Sicht, wenn Sie eine Rakete starten, die in der Lage ist, sich sehr nahe zu bewegen?$c$, und Ihre Rakete sendet ihrerseits einen Lichtimpuls voraus?

Die Rakete wird diesen Puls als fliegend sehen$c$. Allerdings müssen Sie als Starter der Rakete etwas anderes sehen, da sonst der von der Rakete ausgesandte Lichtstrahl so aussehen würde, als würde sie fast fliegen$2c$, was Einsteins zweites Postulat verletzen würde.

Der Lichtimpuls muss also unbedingt vor dem Raumschiff an wandern$c$auch aus Ihrer Perspektive, und das bedeutet wiederum, dass das Raumschiff immer hinter jedem Lichtimpuls bleiben muss, der ausgesendet werden kann. Wenn Sie das auf Papier zeichnen, erhalten Sie dieses skurrile Ergebnis, dass aus Ihrer Sicht Objekte, die sich immer näher mit Lichtgeschwindigkeit bewegen, dennoch immer hinter einem tatsächlichen Lichtstrahl bleiben müssen, da Sie mit jedem anderen Ergebnis Licht a sehen könnten Lichtimpuls bewegt sich schneller als$c$. Objekte werden somit gegen die Barriere „plattgedrückt“, die durch die Geschwindigkeit eines tatsächlichen Lichtstrahls repräsentiert wird.

Es gibt andere Folgen dieser scheinbaren Abflachung, die Lorentz-Kontraktion genannt wird, auf die ich hier nicht eingehen werde. Dazu gehören verlangsamte Zeit und erhöhte Masse, die beide aus den ursprünglichen einfachen Postulaten von Einstein abgeleitet werden können.

Unterm Strich also: Es ist genauer, Einsteins angenommenes Postulat der konstanten Lichtgeschwindigkeit dafür verantwortlich zu machen, materielle Objekte auf die Fortbewegung mit Unterlichtgeschwindigkeit zu beschränken, anstatt die Schuld zu geben$E=mc^2$. Und historisch hat Einstein das nicht einmal hergeleitet$E=mc^2$Ergebnis bis zu seinem zweiten Nachtragspapier, das er veröffentlichte, nachdem er bereits die anderen Konsequenzen seiner Postulate aufgezeigt hatte.

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[1] Tatsächlich gibt es ein interessantes kleines Geheimnis, das in Einsteins Postulaten vergraben ist: Eines fehlt. Um eine korrekte Skalierung der Ergebnisse zu gewährleisten, müssen Sie das folgende dritte Postulat hinzufügen: Wenn zwei Gruppen von Partikeln schnell voneinander abweichen$s$entlang der Achse$x$, die orthogonale Ebene, die durch die verbleibenden zwei orthogonalen Achsen definiert ist$y$und$z$muss zwischen den beiden Teilchengruppen maßstabsinvariant bleiben. Oder viel weniger formell:$y$und$z$verändere dich trotzdem nicht$x$Lorentz-Verträge.

Dieser Punkt scheint so offensichtlich, dass er normalerweise entweder angenommen oder als Ergebnis der anderen beiden Postulate behandelt wird. Aus den anderen beiden Postulaten kann man es aber nicht wirklich ableiten, da unendlich viele Profile möglich sind, die die ersten beiden Postulate erfüllen, wenn man eine variable Skalierung der erlaubt$yz$Ebene. Lorentz hatte dies bemerkt, aber seine Gedanken darüber waren nach Einsteins Papieren weitgehend vergessen. Jedenfalls, wenn man von der Lorentzkontraktion spricht$x$Es ist sinnvoll, die Invarianz (oder deren Fehlen) der verbleibenden zwei Raumachsen explizit anzugeben.

Diese Gleichung ist in Ruhe, wenn sich die Energie bewegt, geht sie wie folgt vor$E= \frac{m_{0}c^{2}}{(1- v^{2}/c^{2})^{1/2}}$

also wenn$v \ge c$und die Energie muss real sein, dann sollte die Masse rein imaginär sein.. :D