Grundsätzlich hat die Lichtgeschwindigkeit weniger mit Licht zu tun, sondern mehr mit einer universellen Geschwindigkeitsbegrenzung , die durch den Wert von gegeben ist$c$.

Sofern ein Körper masselos ist, würde er sich mit der angegebenen Geschwindigkeit bewegen$c$, und würde das Kriterium erfüllen, dass seine Geschwindigkeit unabhängig von der Bewegung der Quelle oder des Beobachters ist.

Alles mit Masse würde sich nicht bewegen$c$, und nichts kann sich schneller bewegen als$c$, und so würden wir daraus schließen$c$wäre die einzige Geschwindigkeit, mit der sich etwas bewegen würde, so dass diese Geschwindigkeit eine Konstante ist, unabhängig von der Bewegung der Quelle und des Beobachters.

Alle Wellen in einem Medium (z. B. Schallwellen, Oberflächenwellen im Wasser) bewegen sich mit einer Geschwindigkeit, die unabhängig von der der Quelle ist (d. h. Dispersion vernachlässigen, die eine Geschwindigkeitsabhängigkeit über den Doppler-Effekt erzeugen würde)

Im Vakuum haben nur Licht (zB elektromagnetische Wellen), Gravitationswellen oder andere masselose Objekte eine von der Quelle unabhängige Geschwindigkeit (nämlich Lichtgeschwindigkeit c)

Überblick

Auf den ersten Blick scheint dies eine einfache Aufgabe zu sein, die Lorentz-Transformationen für Geschwindigkeiten aufzuschreiben. Allerdings wirft das zwei weitere Fragen auf, warum sich Lorentz transformiert und warum wir nicht zwei oder mehr Lorentz-Gruppen in der Raumzeit haben können. Außerdem habe ich gesehen, wie Sie in einem Kommentar gefragt haben, warum sich masselose Objekte mit Lichtgeschwindigkeit fortbewegen müssen, was ich auch einbeziehen werde. Zuerst der einfachere Teil:

Lorentz-Transformationen auf Geschwindigkeit

Wenn wir davon ausgehen, dass Transformationen zwischen Bezugssystemen Lorentz-Transformationen sind:

$\begin{cases}ct'=\gamma\left(ct-\beta x\right)\\x'=\gamma\left(x-\beta ct\right)\\y'=y\\z'=z\end{cases}$

Sie haben Recht mit der Betrachtung der Zeitdilatation, aber wir müssen auch die Längenkontraktion berücksichtigen:

$$\begin{align}u'_x=\frac{x'}{t'}&=\frac{\gamma\left(x-\beta ct\right)}{\gamma\left(t-\frac{1}{c}\beta x\right)}\\&=\frac{u_x-v}{1-\dfrac{u_xv}{c^2}}\tag*{As $u_x=\frac{x}{t}$}\\u'_y=\frac{y'}{t'}&=\frac{y}{\gamma\left(t-\frac{1}{c}\beta x\right)}\\&=\frac{u_y}{\gamma\left(1-\dfrac{u_xv}{c^2}\right)}\tag*{As $u_y=\frac{y}{t}$}\\\text{Similarly }u'_z=\frac{z'}{t'}&=\frac{z}{\gamma\left(t-\frac{1}{c}\beta x\right)}\\&=\frac{u_z}{\gamma\left(1-\dfrac{u_xv}{c^2}\right)}\tag*{As $u_z=\frac{z}{t}$}\end{align}$$

Dann betrachten wir ein Objekt, das sich mit einer Geschwindigkeit bewegt$\vec u$in einem Bezugsrahmen$S$Wenn wir dann sowohl die Zeitdilatation als auch die Längenkontraktion verwenden, stellen wir fest, dass sich die Geschwindigkeit eines Objekts in einem Referenzrahmen mit einer Geschwindigkeit bewegt$v$im$x$-Richtung relativ$S$wird gegeben von:

$$\vec u'=\begin{pmatrix}\dfrac{u_x-v}{1-\dfrac{u_xv}{c^2}},&\dfrac{u_y}{\gamma\left(1-\dfrac{u_xv}{c^2}\right)}&\dfrac{u_z}{\gamma\left(1-\dfrac{u_xv}{c^2}\right)}\end{pmatrix}$$

Wo$\gamma\equiv\left(1-\beta^2\right)^{-\frac{1}{2}}$Und$\beta\equiv\dfrac{v}{c}$

Jetzt interessiert uns die Geschwindigkeit, nicht die Geschwindigkeit, also:

$$\begin{align}u'&=\sqrt{u_x'^2+u_y'^2+u_z'^2}\\&=\frac{1}{1-\dfrac{u_xv}{c^2}}\sqrt{u_x^2-2u_xv+v^2+\gamma^{-2}\left(u_y^2+u_z^2\right)}\\&=\frac{1}{1-\dfrac{u_xv}{c^2}}\sqrt{u_x^2-2u_xv+v^2+\left(1-\beta^2\right)\left(u_y^2+u_z^2\right)}\\&=\frac{1}{1-\dfrac{u_xv}{c^2}}\sqrt{u^2-2u_xv+v^2-\beta^2\left(u^2-u_x^2\right)}\\&=\frac{1}{1-\dfrac{u_xv}{c^2}}\sqrt{\gamma^{-2}u^2+\beta^2u_x^2-2u_xv+v^2}\\&=\frac{u}{1-\dfrac{u_xv}{c^2}}\sqrt{\gamma^{-2}+\beta^2\frac{u_x^2}{u^2}-2\frac{u_xv}{u^2}+\frac{v^2}{u^2}}\end{align}$$

Wenn wir nehmen$u\le c$Dann$\beta\le\frac{v}{u}$mit Äquivalenz nur dann, wenn$u=c$und so:

$$\begin{align}\frac{u'}{u}&\le\frac{1}{1-\dfrac{u_xv}{c^2}}\sqrt{1-\beta^2+\frac{u_x^2v^2}{u^4}-2\frac{u_xv}{u^2}+\frac{v^2}{u^2}}\\&=\frac{1}{1-\dfrac{u_xv}{c^2}}\sqrt{\left(1-\frac{u_xv}{u^2}\right)^2-\beta^2+\frac{v^2}{u^2}}\quad\text{with equivalence only when $u=c$}\\\therefore\frac{u'}{u}&\le1\quad\text{found by substituting in $u=c$}\end{align}$$

Wir erhalten also nur dann die konstante Geschwindigkeit, wenn$u=c$.

Wie Sie aus der obigen Ungleichung sehen können, ist die Lichtgeschwindigkeit eine Geschwindigkeitsbegrenzung. Beachten Sie auch, dass wir nie die Objektklasse erwähnt haben, deren Geschwindigkeit wir berechnet haben, tatsächlich muss es nicht einmal ein physisches Objekt sein, sondern könnte ein anderer Bezugsrahmen sein. Dies ist wichtig, weil dies bedeutet, dass die Geschwindigkeitsbegrenzung eine Eigenschaft der Raumzeit ist, nicht der Objekte innerhalb der Raumzeit.

Warum Lorentz transformiert

Erstens, weil es das ist, was wir experimentell beobachten. Aber welche anderen Möglichkeiten gibt es? Nun, in der Allgemeinen Relativitätstheorie verallgemeinern wir die Raumzeit, indem wir ihr erlauben, die Form einer (Pseudo-)Riemannschen Mannigfaltigkeit anzunehmen, und so ist der unveränderliche Abstand zwischen Punkten auf der Mannigfaltigkeit gegeben durch$\text{d}s^2=g_{\mu\nu}\text{d}x^{\mu}\text{d}x^{\nu}$Wo$g_{\mu\nu}$ist der metrische Tensor. Jetzt können wir die Koordinaten immer so wählen, dass an einem gegebenen Punkt in der Raumzeit die Metrik zu beiden diagonal ist$+1$oder$-1$für jedes der diagonalen Elemente. Da wir den Raum als isotrop betrachten, müssen wir allen Raumkoordinaten das gleiche Vorzeichen geben und können dieses Vorzeichen ohne Verlust der Allgemeinheit negativ machen. Daher muss die Metrik die Form haben$\operatorname{diagonal}\left(\pm1,-1,-1,-1\right)$. In beiden Fällen sind Übersetzungen zulässig, da wir eine Differenzentfernung verwenden. Aber wenn wir das negative Vorzeichen nehmen, haben wir lokal euklidischen Raum und die einzig möglichen zusätzlichen Transformationen sind Rotationen und Spiegelungen - siehe die orthogonale Gruppe für weitere Details. Aber wenn wir das positive Vorzeichen nehmen, dann haben wir lokal Minkowski-Raum und die einzig möglichen zusätzlichen Transformationen sind Lorentz-Transformationen und Reflexionen - siehe die Lorentz-Gruppe für weitere Details. Jetzt beobachten wir Lorentz-Transformationen in Experimenten, damit wir wissen, in welcher der beiden Möglichkeiten wir leben. Es sollte jetzt klar sein, dass Lorentz-Transformationen für die Raumzeit gelten, nicht für die Objekte darin.

Warum nicht mehrere Werte von$c$

Jetzt wissen wir, warum wir Lorentz-Transformationen haben, und wir wissen, dass die Gruppe von Lorentz-Transformationen für einen gegebenen Wert von$c$ein Tempolimit auferlegen$c$. Stellen Sie sich nun vor, wir würden es zulassen$c$mehr als einen Wert annehmen. Was würde das bedeuten? Nehmen wir an, Sie stehen auf einem Bahnsteig und sehen zu, wie ein Zug vorbeifährt. Im Zug ist eine Person, die mit einer Geschwindigkeit auf die Vorderseite des Zuges zugeht$u$relativ zum Zug. Nun, mit welcher Geschwindigkeit sehen wir die Person gehen? Nun, wir haben festgestellt, dass die Lorentz-Transformationen eine Eigenschaft der Raumzeit und nicht des Objekts sind, also wenn wir mehrere Werte von hätten$c$dann jeder Wert von$c$würde eine andere Geschwindigkeit ergeben, die Sie für die gehende Person beobachten würden, und da Sie nur eine einzige Geschwindigkeit beobachten können, muss es nur einen einzigen Wert geben$c$.

Vielleicht sind Sie jetzt nicht davon überzeugt, dass die Lorentz-Transformation eine Eigenschaft der Raumzeit sein muss, also überlegen wir uns für eine Sekunde, was passieren würde, wenn$c$hing vom Objekt ab. Stellen Sie sich ein Objekt vor, das aus Partikeln besteht, von denen einige von einem Wert von beeinflusst wurden$c$und einige davon wurden von einem anderen Wert von beeinflusst$c$. In einem bestimmten Bezugsrahmen kann sich das Objekt relativ zum Beobachter bewegen, aber es scheint sich relativ zu seinen mitbewegten Koordinaten nicht zu verändern. Nun würde ein anderer Beobachter dann das Auseinanderreißen des Objekts in seinem Bezugssystem als die Teilchen eines anderen beobachten$c$in diesem Rahmen müssen eine Relativgeschwindigkeit zueinander haben! Nun beobachten wir das nicht, aber wäre es überhaupt eine konsistente Theorie? Nun, stellen Sie sich zwei im Raum getrennte Beobachter vor, die sich relativ zum Objekt bewegen, so dass es nicht auseinander zu reißen scheint. Wenn nun einer der Beobachter schneller wird, um sich zum anderen Beobachter zu bewegen, scheint das Objekt für sie auseinander zu reißen, wenn sie dann den anderen Beobachter erreichen und langsamer werden, hört das Objekt auf, weiter auseinander zu reißen, wird aber immer noch aus ihrer Perspektive gerissen . Aber der Beobachter, der bereits dort ist, würde argumentieren, dass er das Objekt noch intakt sieht!

Masselose Objekte

Momentum ist ein 4-Vektor und muss daher über Lorentz-Transformationen transformiert werden. Das bedeutet, dass die Form der 3-Teil des Impulses ist$\vec p=\gamma m\vec v$. Jetzt kehren wir einfach diese Gleichung um, um zu finden$\vec v$:

$$\begin{align}p^2\left(1-\beta^2\right)&=m^2v^2\\v^2&=\frac{p^2c^2}{m^2c^2+p^2}\\\implies\vec v&=\frac{\vec pc}{\sqrt{m^2c^2+p^2}}\end{align}$$

Jetzt einstellen$m=0$und trivialerweise sehen wir das$v=c$.

Ja, es ist unmöglich.

Folgende Eröffnungsdiskussion habe ich in Landau-Lifshitz gefunden$^1$erhellend. Hier wird argumentiert, dass die Geschwindigkeit von Interaktionen maximal, einzigartig und universell ist.

Die Wechselwirkung materieller Teilchen wird in der gewöhnlichen Mechanik durch eine potentielle Wechselwirkungsenergie beschrieben, die als Funktion der Koordinaten der wechselwirkenden Teilchen auftritt. Es ist leicht einzusehen, dass diese Art der Beschreibung von Wechselwirkungen die Annahme einer augenblicklichen Ausbreitung von Wechselwirkungen beinhaltet. Denn die Kräfte, die zu einem bestimmten Zeitpunkt von anderen Teilchen auf jedes der Teilchen ausgeübt werden, hängen nach dieser Beschreibung nur von den Positionen der Teilchen zu diesem einen Zeitpunkt ab. Eine Positionsänderung eines der wechselwirkenden Teilchen wirkt sich sofort auf die anderen Teilchen aus.

Experimente zeigen jedoch, dass augenblickliche Wechselwirkungen in der Natur nicht existieren. Somit enthält eine Mechanik, die auf der Annahme einer augenblicklichen Ausbreitung von Wechselwirkungen beruht, eine gewisse Ungenauigkeit in sich. Wenn in einem der interagierenden Körper irgendeine Veränderung stattfindet, wird sie die anderen Körper tatsächlich erst nach Ablauf eines bestimmten Zeitintervalls beeinflussen. Erst nach diesem Zeitintervall beginnen im zweiten Körper Prozesse durch die anfängliche Veränderung stattzufinden. Teilen wir den Abstand zwischen den beiden Körpern durch dieses Zeitintervall, erhalten wir die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Wechselwirkung .

Wir stellen fest, dass diese Geschwindigkeit streng genommen die maximale Ausbreitungsgeschwindigkeit der Wechselwirkung genannt werden sollte . Sie bestimmt nur das Zeitintervall, nach dem eine Veränderung in einem Körper beginntsich in einem anderen manifestieren. Es ist klar, dass die Existenz einer maximalen Ausbreitungsgeschwindigkeit von Wechselwirkungen gleichzeitig impliziert, dass Bewegungen von Körpern mit größerer Geschwindigkeit als dieser in der Natur im Allgemeinen unmöglich sind. Denn wenn eine solche Bewegung stattfinden könnte, dann könnte man durch sie eine Wechselwirkung mit einer Geschwindigkeit realisieren, die die maximal mögliche Ausbreitungsgeschwindigkeit von Wechselwirkungen übersteigt. Wechselwirkungen, die sich von einem Teilchen zum anderen ausbreiten, werden häufig als "Signale" bezeichnet, die vom ersten Teilchen ausgesendet werden und das zweite Teilchen über Änderungen "informieren", die das erste Teilchen erfahren hat. Die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Wechselwirkung wird dann als Signalgeschwindigkeit bezeichnet .

Aus dem Relativitätsprinzip folgt$^2$dass die Fortpflanzungsgeschwindigkeit von Wechselwirkungen in allen Inertialbezugssystemen gleich ist. Somit ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit von Wechselwirkungen eine universelle konstante Geschwindigkeit (wie wir später zeigen werden) ist auch die Lichtgeschwindigkeit im leeren Raum.

Ich hoffe das schafft Klarheit.

---

Fusszeile

$^1$Landau LD, EM Lifschitz; S. 1-2 ; The Classical Theory of Fields , Fourth Revised English Edition, Course of Theoretical Physics Volume 2; Verlag: Butterworth Heinemann

$^2$Die Geschwindigkeit von Wechselwirkungen soll von der Geschwindigkeit eines Inertialrahmens bzgl. abhängen. Labor. Dann durch Messung der Änderung der Interaktionsgeschwindigkeit bzgl. Lab-Wert, würden sich bewegende Trägheitsbeobachter erkennen, dass sie sich bewegen, und damit das Relativitätsprinzip verletzen.

Äquivalent sind:

1. In irgendeinem Bezugssystem das Teilchen$X$fährt manchmal schnell$c$.

2. In irgendeinem Bezugssystem das Teilchen$X$fährt immer schnell$c$.

3. In jedem Bezugssystem das Teilchen$X$fährt manchmal schnell$c$.

4. In jedem Bezugssystem das Teilchen$X$fährt immer schnell$c$.

5. Die Masse des Teilchens$X$ist Null.