Spivaks Kalkül: Kapitel 13 Frage 21

Question

Spivaks Kalkül: Kapitel 13 Frage 21

Ethan Chan

Ich habe ein bisschen Probleme mit dem Teil b der folgenden Frage aus Spivak's Calculus:

Insbesondere bin ich mir nicht sicher, welche Annahmen bezüglich der Funktion $f^{-1}$ Und $f$ , darf ich anhand der Angaben der Frage stellen. Kann ich davon ausgehen $f^{-1}$ überall auf [a, b] definiert und beschränkt ist und dass f integrierbar ist?

Und wenn nicht, wovon kann ich ausgehen $f^{-1}$ Und $f$ ? Vielen Dank im Voraus! Könnten Sie auch vermeiden, Hinweise zu geben, wie Sie die Frage tatsächlich lösen können, da ich es immer noch selbst versuchen möchte.

Antworten (2)

Spivaks Kalkül: Kapitel 13 Frage 21

Alan · Answer 1

Hier ist ein Beweis dafür, dass eine ansteigende Funktion definiert ist $[a,b]$ ist integrierbar. https://www.math.utah.edu/~yael/3210_public/exams/Integral.pdf . Unter der Annahme, dass Erhöhen strenges Erhöhen bedeutet, ist es auch eins zu eins so $f^{-1}$ ist ebenfalls definiert und ist ebenfalls leicht als monoton zu sehen, ist also auch integrierbar. Eine monotone Funktion auf einem geschlossenen Intervall ist ebenfalls trivial beschränkt, durch $f(a)$ Und $f(b)$

Ich denke, es gibt Probleme, wenn $f$ enthält eine innere Sprungdiskontinuität, da dies eine Lücke im Bereich von erzeugen würde $f^{-1}$ . In diesem Fall, $f^{-1}$ ist noch integrierbar über die Teile von $[f(a), f(b)]$ auf dem es definiert ist (Wechsel zu Alan's $[a,b]$ hier, aus dem Original $[a,b]$ ), aber der fragliche Satz funktioniert nicht mehr.

Ben · Answer 2

Ich glaube, dass dieses Problem und die Lösung von Spivak in Schwierigkeiten geraten, wenn es Sprungunterbrechungen gibt.

Obwohl er es nicht sagt, vermute ich, dass er sich implizit (vielleicht sogar unwissentlich) darauf verlässt $f$ kontinuierlich an sein $(f^{-1}(a), f^{-1}(b))$ . Ohne diese Bedingung würde eine Sprungunterbrechung eine Lücke im Bereich von verursachen $f^{-1}$ .

Das Theorem funktioniert in diesem Fall immer noch, wenn wir es zulassen $\int_a^bf^{-1}$ um einen Teil des Bereichs über das Intervall einzuschließen, auf dem $f^{-1}$ ist nicht wirklich definiert, aber ich bezweifle, dass dies beabsichtigt war.

Siehe hier für weitere Details (enthält Spoiler).

Ich bin mir diesbezüglich nicht 100% sicher, da meine verknüpfte Frage nie beantwortet wurde.

Update : Im Falle einer Sprungstelle kann die Formel auf eine Funktion angewendet werden $g$ , Wo $g$ nimmt den Wert von an $f^{-1}$ über Intervalle, wo es definiert ist, und nimmt den konstanten Wert an $x_0$ auf dem Intervall wo $f^{-1}$ ist nicht definiert, wo $x_0$ ist der Punkt, an dem $f$ „springt“.

Ich werde meiner verknüpften Frage einige Details hinzufügen, wenn ich etwas Zeit habe.

Spivaks Kalkül: Kapitel 13 Frage 21

Ethan Chan

Antworten (2)

Alan

Ben

Ben

Wie beweise ich, dass etA=limn→∞((I−tAn)−1)netA=limn→∞((I−tAn)−1)ne^{tA}=\lim_{n\rightarrow\infty} (( I-\frac{tA}{n})^{-1})^n?

Bestimmtes Integral der modifizierten Bessel-Funktion zweiter Art

∑∞n=0ak∑n=0∞ak\sum_{n=0}^\infty a_k konvergiert absolut und ∑∞n=0bk∑n=0∞bk\sum_{n=0}^\infty b_k konvergiert Tut dies implizieren, dass ∑∞n=0bksin(ak)∑n=0∞bksin⁡(ak)\sum_{n=0}^\infty b_k\sin(a_k) konvergiert?

Nicht übereinstimmende Ergebnisse mit Fundamental Theorem of Analysis.

Fundamentalsatz der Analysis: Wie hebt sich das beliebige C auf?

Geschlossene Form des bestimmten Integrals von 2006 MIT Integration Bee [geschlossen]

Beweisen, dass eine Ableitung existiert, wenn die Grenze von f' gegeben ist

Wie kam Newton (oder wer auch immer den Prozess erfunden hat) auf die Idee, dass die Stammfunktion zur Berechnung der Fläche unter einer Kurve verwendet werden kann?

Was ist die richtige Formel für die Waschmethode?

Wäre dies ein korrektes Integral für das Volumen dieses Torus?