Starrer Körper: Innenarbeit null?

Question

Starrer Körper: Innenarbeit null?

Selbstlernender Arbeiter

Ich folge einem grundlegenden Physik-Kursbuch, nämlich WE Gettys, FJ Keller und MJ Skove's Physics (in einer italienischen Übersetzung). Bei Übungen, bei denen keine nichtkonservative Kraft auf einen starren Körper wirkt, wird, wenn ich sie richtig verstehe, davon ausgegangen, dass die Kräfte, die die Körperteile aufeinander ausüben, insgesamt keine Arbeit verrichten.

Ist die von solchen Kräften verrichtete Gesamtarbeit im üblichen mathematischen Modell eines starren Körpers null? Wenn ja, wie lässt sich das mathematisch beweisen? Ich spreche von einem mathematisch idealen starren, unelastischen und unverformbaren Körper

Was ich verstehe, ist das, wenn der starre Körper ein diskretes System ist, das aus Punkten mit Masse besteht $m_i$ , mit Punkt $i$ die Kraft ausüben $\mathbf{F}_{ij}$ auf den Punkt $m_j$ , wenn wir anrufen $\mathbf{r}_j:[t_0,t_f]\to\mathbb{R}^3$ die Kurve entlang welchem Punkt $j$ bewegt sich (gemäß dem äußeren Inertialsystem) im zeitlichen Intervall $[t_0,t_f]$ , ist die Gesamtarbeit, die die von den Punkten aufeinander ausgeübten inneren Kräfte verrichten

\sum_{ich, J} \int_{T_{0}}^{T_{F}} F_{ich J} (R_{J} (T)) \cdot R_{J}^{'} (T) D T

$\sum_{i,j}\int_{t_0}^{t_f}\mathbf{F}_{ij}(\mathbf{r}_{j}(t))\cdot\mathbf{r}_{j}'(t)dt$ was, da Newtons drittes Gesetz dies besagt

F_{i j} = - F_{j i}

$\mathbf{F}_{ij}=-\mathbf{F}_{ji}$ , ist - wenn ich das richtig verstehe - gleich

\sum_{ich < J} \int_{T_{0}}^{T_{F}} F_{ich J} (R_{J} (T)) \cdot (R_{J}^{'} (T) - R_{ich}^{'} (T)) D T

$\sum_{i<j}\int_{t_0}^{t_f}\mathbf{F}_{ij}(\mathbf{r}_{j}(t))\cdot(\mathbf{r}_{j}'(t) -\mathbf{r}_{i}'(t))dt$ aber ich kann mir nicht beweisen, dass ein solches Integral null ist ...

ICH $\infty$ - Vielen Dank für jede Antwort!

John Rennie

Wenn der Körper ganz starr ist

r

$\bf r$ s sind null, was das Integral etwas einfacher macht.

Selbstlernender Arbeiter

@JohnRennie Vielen Dank für den Kommentar! Von

r_{j}

$\mathbf{r}_j$ Ich meine die Parametrisierung des Weges per Punkt

j

$j$ , die in Bezug auf das externe Inertialsystem nicht null ist ...

QMechaniker

Siehe auch: physical.stackexchange.com/q/23097/2451 und darin enthaltene Links.

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Starrer Körper: Innenarbeit null?

Wenn der Körper ganz starr ist $\bf r$ s sind null, was das Integral etwas einfacher macht.
@JohnRennie Vielen Dank für den Kommentar! Von $\mathbf{r}_j$ Ich meine die Parametrisierung des Weges per Punkt $j$ , die in Bezug auf das externe Inertialsystem nicht null ist ...
Siehe auch: physical.stackexchange.com/q/23097/2451 und darin enthaltene Links.

AV23 · Answer 1

Wir betrachten das Integral:

\sum_{ich < J} \int_{T_{0}}^{T_{F}} F_{ich J} (R_{J} (T)) \cdot (R_{J}^{'} (T) - R_{ich}^{'} (T)) D T

$\sum_{i\lt j}\int_{t_0}^{t_f} \mathbf{F}_{ij}(\mathbf{r}_j(t))\cdot(\mathbf{r}'_j(t) - \mathbf{r}'_i(t))dt$ Bei einem starren Körper wird der Abstand zwischen zwei beliebigen Massen immer konstant gehalten, eine Tatsache, die wir ausdrücken können als:

| R_{ich} (T) - R_{J} (T) |^{2} = Δ_{ich J}

$\vert\mathbf{r}_i(t) - \mathbf{r}_j(t)\vert^2 = \Delta_{ij}$ oder

(R_{ich} (T) - R_{J} (T)) \cdot (R_{ich} (T) - R_{J} (T)) = Δ_{ich J}

$(\mathbf{r}_i(t) - \mathbf{r}_j(t))\cdot(\mathbf{r}_i(t) - \mathbf{r}_j(t)) = \Delta_{ij}$ wo all die

Δ_{i j}

$\Delta_{ij}$ sind für alle Zeiten konstant. Differenzierung nach der Zeit auf beiden Seiten ergibt:

2 (R_{ich} (T) - R_{J} (T)) \cdot (R_{ich}^{'} (T) - R_{J}^{'} (T)) = 0

$2(\mathbf{r}_i(t) - \mathbf{r}_j(t))\cdot(\mathbf{r}'_i(t) - \mathbf{r}'_j(t)) = 0$

Damit schließen wir das $(\mathbf{r}'_i(t) - \mathbf{r}'_j(t))$ steht senkrecht dazu $(\mathbf{r}_i(t) - \mathbf{r}_j(t))$ .

An diesem Punkt benötigen wir eine zusätzliche Annahme, um fortzufahren – wir benötigen nicht nur das $\mathbf{F}_{ij} = -\mathbf{F}_{ji}$ , nach Newtons drittem Gesetz, aber auch das

F_{ich J} = F (R_{ich}, R_{J}) (R_{ich} (T) - R_{J} (T))

$\mathbf{F}_{ij} = f(\mathbf{r}_i, \mathbf{r}_j)\ \left(\mathbf{r}_i(t) - \mathbf{r}_j(t)\right)$ Wo

f

$f$ ist eine Skalarfunktion, dh die Kräfte wirken auf die radiale Linie, die zwei beliebige Teilchen verbindet. Mit dieser Annahme verschwindet der Integrand:

F_{ich J} (R_{J} (T)) \cdot (R_{J}^{'} (T) - R_{ich}^{'} (T)) = 0

$\mathbf{F}_{ij}(\mathbf{r}_j(t))\cdot(\mathbf{r}'_j(t) - \mathbf{r}'_i(t)) = 0$ und wir haben, dass der starre Körper keine innere Arbeit an sich selbst verrichtet.

Somit sind es die inneren Kräfte entlang der Linie, die jedes Punktpaar in einem starren Körper verbindet, die keine Arbeit verrichten; denn jede "Netto"-Bewegung zwischen dem Punktepaar in dieser Richtung (dh der Richtung der Kraft) würde den Abstand verändern und ist daher verboten.

Innere gleiche und entgegengesetzte Kräfte, die nicht auf derselben Linie wirken, funktionieren tatsächlich: Betrachten Sie als einfaches Beispiel ein System aus zwei Punkten in konstantem Abstand $R$ , wobei ihre (gleichen und entgegengesetzten) inneren Kräfte senkrecht zur Trennung wirken $\mathbf{R}$ . Die Kräfte erzeugen dann ein Drehmoment und verändern damit den Drehimpuls des Systems. Wenn die Größe dieser Kräfte Funktionen von wären $R$ allein hättest du einen starren Körper, der sich spontan mit immer größerer Geschwindigkeit zu drehen beginnt.

Wow: genau das, was ich verstehen musste! ICH $\infty$ -ly danke!

Starrer Körper: Innenarbeit null?

Selbstlernender Arbeiter

John Rennie

Selbstlernender Arbeiter

QMechaniker

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AV23

Selbstlernender Arbeiter

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