Stehende Druckwellenknoten am Ende der offenen Seite eines Rohres

Aus dem Wikipedia-Artikel zum Thema Sound :

In der Physik ist Schall eine Schwingung, die sich als typische hörbare mechanische Druck- und Verschiebungswelle ausbreitet .

Um vollständig zu verstehen, wie Luft in einem offenen Rohr schwingt, müssen Sie nicht nur die akustische Druckwelle,

(hier$c$ist die Schallgeschwindigkeit), sondern auch die Veränderung der Luftströmung, also eine Teilchenverschiebungswelle :

Wir nehmen an, dass die Luft in der Röhre eine Ruheposition hat, und die Wellenbewegung wird als Verschiebung von dieser Position ausgedrückt. Wenn wir mit bezeichnen$ξ(x,t)$die Verschiebung der Luft an Position x zum Zeitpunkt t, dann lautet die Wellengleichung für die Verschiebung (ich habe am Ende dieser Antwort eine Ableitung hinzugefügt):

Wie Sie zitiert haben, muss der Druck am offenen Ende gleich dem Druck der Umgebungsluft außerhalb des Rohrs sein: Dies ist nur eine Randbedingung (ich komme später darauf zurück, aber eine einfache Art, es zu verstehen, ist: Wenn wir die Kontinuität des Drucks nicht erfüllte, hätten wir einen unendlichen Druckgradienten und damit eine unendliche Kraft). Bei einem offenen Ende kann Luft jedoch frei ein- und ausströmen: Das heißt, die Verschiebungswelle tritt aus und breitet sich aus. Dieses Diagramm zeigt, was in einem offenen (links) vs. geschlossenen Rohr (rechts) gleicher Länge passiert:

Die rote Linie ist die Amplitude der Druckänderung, während die blaue Linie die Amplitude der Luftströmungsänderung ist. Wie man sieht, ist die Amplitude der Verschiebungswelle am offenen Ende maximal.

Um Ihre Fragen zu beantworten: "Warum kann der Druck am offenen Ende nicht vom atmosphärischen Druck abweichen?" und "wie kommt es zur Reflexion der Welle am offenen Ende?", zitiere ich eine Passage aus dieser wunderbaren Erklärung , die ich gefunden habe (Sie sollten sich die Animationen ansehen, wenn dies nicht klar genug ist, oder alternativ auf dieses Video ): Schicken wir einen Luftstoß durch ein zylindrisches Rohr, das am Ende offen ist. Dann...

Es erreicht das Ende der Röhre und wird durch seinen Impuls ins Freie getragen, wo es sich in alle Richtungen ausbreitet. Da es sich nun in alle Richtungen ausbreitet, fällt sein Druck sehr schnell auf nahezu atmosphärischen Druck ab (die Luft draußen hat atmosphärischen Druck). Es hat jedoch immer noch den Impuls, sich vom Ende des Rohrs wegzubewegen. Dadurch entsteht ein kleiner Sog: Die im Schlauch dahinter folgende Luft wird herausgesaugt (ein bisschen wie die Luft, die hinter einem rasenden LKW angesaugt wird).

Jetzt saugt ein Sog am Ende des Rohrs Luft von weiter oben im Rohr an, und das wiederum zieht Luft von weiter oben im Rohr an und so weiter. Das Ergebnis ist also, dass ein Luftpuls mit hohem Druck, der das Rohr hinunterwandert, als ein Luftpuls mit niedrigem Druck reflektiert wird, der das Rohr hinaufwandert. Wir sagen, dass die Druckwelle am offenen Ende mit einer Phasenänderung von 180° reflektiert wurde.

Eine formellere Behandlung von Reflexionen an einem offenen Ende finden Sie hier . Lassen Sie mich wissen, wenn ich mich zu einem Punkt klarer ausdrücken kann.

Nachtrag : Eine Ableitung der beiden Wellengleichungen.

Der Schalldruck ist die örtliche Druckabweichung von der Umgebung, d.h.:

wo$p_a$ist der Umgebungsluftdruck, und$P(x,t)$ist der absolute Druck. In dieser Situation besagt das Hookesche Gesetz dies

wo die Konstante$B$ist der Massenmodul von Luft (dh der Widerstand von Luft gegen gleichmäßige Kompression). Newtons zweites Bewegungsgesetz impliziert dies

Wenn wir diese Gleichungen kombinieren, erhalten wir

und

wo$c = \sqrt{B/{\rho}}$(aus Newton-Laplace-Gleichung),$\rho$Luftdichte sein. Quelle dieser Herleitung: Dave Benson's Music: A Mathematical Offering .

Später Nachtrag :

Wie @knzhou in seiner Antwort betonte, sollte erwähnt werden, dass für ein offenes Ende$p = 0$ist wirklich nur eine Annäherung, da das Luftvolumen direkt außerhalb der Röhre nicht unendlich ist. Sie können das tatsächliche Rohr jedoch genauer darstellen, indem Sie mit einer effektiven Länge arbeiten , die etwas länger ist als das geometrische Ende. Dieses Diagramm zeigt die effektive Länge für den Grundschwingungsmodus einer Flöte:

Die Endkorrektur ist der Betrag, um den die effektive Länge die tatsächliche Länge überschreitet, und liegt unter normalen Bedingungen normalerweise bei etwa drei Fünftel der Rohrbreite.

Auch könnte man sich fragen, was eigentlich an der Grenze zwischen Röhre und Freiluft passiert. Alles, was ich weiß, ist, dass, wenn sich innerhalb der Röhre eine ebene Welle befindet und wenn die Verschiebungswelle austritt und sich nach außen ausbreitet, sie kugelförmig wird, dann muss es einen komplizierten Effekt zwischen den beiden geben (wie von @docscience vorgeschlagen in den Kommentaren). Vielleicht kann es uns ein sachkundiger Mensch erklären.

Sie fragen sich, warum sich an einem offenen Rohrende Druckknoten bilden. Die Antwort ist, sie tun es nicht! Es ist nur eine einigermaßen gute Annäherung.

Betrachten Sie physikalisch die Luftmoleküle in der Mitte der Röhre. Da sie weit von den Rändern entfernt sind, können sie nicht genau "wissen", wann die Röhre endet, daher muss die Schallwelle leicht "austreten". Die Entfernung dieser Leckage liegt in der Größenordnung des Rohrradius; Danach entspricht der Druck ungefähr dem atmosphärischen Druck.

Um das Problem tatsächlich zu lösen, muss die vollständige 3D-Wellengleichung mit komplizierten Randbedingungen gelöst werden. Die wenigen Male, die dies explizit getan werden kann, ist das Ergebnis ein Durcheinander von Sonderfunktionen. In guter Näherung kann man jedoch die vollständige 3D-Lösung durch eine 1D-Lösung ersetzen, deren Knoten leicht aus der Röhre verschoben ist. Dies wird als " Endkorrektur " bezeichnet und ist wichtig für den Bau von Musikinstrumenten.

Wie Ihre Animation zeigt, tritt die maximale Verschiebung am offenen Ende auf. Das steht im Widerspruch zu Ihrer Behauptung, dass das offene Ende ein Knoten ist. Ich denke, das offene Ende ist ein Bauch, ebenso sind die Enden einer offenen Röhre Bauch.