Stichprobenmittelwert und -varianz

Question

Stichprobenmittelwert und -varianz

Statistiken
Mathematik
Normalverteilung
Wahrscheinlichkeitsverteilungen

Rwt

Lassen $X, Y$ IID sein $\sim N(\mu, \sigma^2)$ .

M = \frac{1}{2} (X + Y), v = (X - M)^{2} + (Y - M)^{2}

$M = \frac12(X + Y),\qquad V = (X - M)^2 + (Y - M)^2$

Betrachten Sie die gemeinsame momenterzeugende Funktion von $(M, X - M, Y - M)$ , zeige, dass $M$ Und $V$ sind unabhängig.

Wir haben nichts über Dinge wie den Satz von Cochran oder die Normalverteilung mit mehreren Variablen gelernt.

Ich bin verwirrt, wie finden Sie die MGF von etwas, dessen PMF nicht gegeben ist? Oder sollte ich in der Lage sein, die PMF auszuarbeiten? Jede Hilfe geschätzt, danke!

Rwt

Muss spät werden, tut mir leid, ja, es sollte kein Quadrat geben - M ist der Stichprobenmittelwert und V ist die Stichprobenvarianz

Tat

Hier ist eine Beweisskizze: (1) zeige, dass X+Y und XY unabhängig sind, (2) zeige, dass M eine Funktion von X+Y und V eine Funktion von XY ist, (3) folgere.

Rwt

(2) & (3) sind trivial. Für (1) habe ich es mit f(x,y) = f(x)f(y) geschafft, da X, Y unabhängig sind. Dann eine Transformation zu g(x+y,xy) durchgeführt, um zu zeigen, dass g(x+y,xy)=g(x+y)g(xy) und somit (X+Y) und (XY) unabhängig sind. Aber gibt es eine Möglichkeit, MGF zu verwenden, da die Frage dies sagt?

Tat

Ich habe keine Ahnung, was Sie meinen, wenn Sie f (x, y) = f (x) f (y) verwenden oder eine Transformation in g (x + y, xy) durchgeführt haben, um zu zeigen, dass g (x + y, xy) = g(x+y)g(xy) . Welches f, welches g, welche Transformation? Sie scheinen sich auf eine (unausgesprochene) Charakterisierung der Unabhängigkeit zu verlassen, die sich mir entzieht.

Antworten (1)

Stichprobenmittelwert und -varianz

Muss spät werden, tut mir leid, ja, es sollte kein Quadrat geben - M ist der Stichprobenmittelwert und V ist die Stichprobenvarianz
Hier ist eine Beweisskizze: (1) zeige, dass X+Y und XY unabhängig sind, (2) zeige, dass M eine Funktion von X+Y und V eine Funktion von XY ist, (3) folgere.
(2) & (3) sind trivial. Für (1) habe ich es mit f(x,y) = f(x)f(y) geschafft, da X, Y unabhängig sind. Dann eine Transformation zu g(x+y,xy) durchgeführt, um zu zeigen, dass g(x+y,xy)=g(x+y)g(xy) und somit (X+Y) und (XY) unabhängig sind. Aber gibt es eine Möglichkeit, MGF zu verwenden, da die Frage dies sagt?
Ich habe keine Ahnung, was Sie meinen, wenn Sie f (x, y) = f (x) f (y) verwenden oder eine Transformation in g (x + y, xy) durchgeführt haben, um zu zeigen, dass g (x + y, xy) = g(x+y)g(xy) . Welches f, welches g, welche Transformation? Sie scheinen sich auf eine (unausgesprochene) Charakterisierung der Unabhängigkeit zu verlassen, die sich mir entzieht.

Michael Hardy · Answer 1

$X-M$ ist dasselbe wie $(X-Y)/2$ Und $Y-M$ ist das gleiche wie $(Y-X)/2$ .

Die angeforderte mgf ist:

\begin{aligned} M_{(M, X - M, Y - M)} (S, T, u) = E (e^{S M + T (X - M) + u (Y - M)}) = E (e^{S (X + Y) + T (X - Y) / 2 + u (Y - X) / 2}) \\ = E (e^{(S + T / 2 - u / 2) X + (S - T / 2 + u / 2) Y}) = M_{(X, Y)} (S + \frac{T - u}{2}, S - \frac{T - u}{2}) \\ = M_{X} (S + \frac{T - u}{2}) M_{Y} (S - \frac{T - u}{2}) = M_{X} (S + \frac{T - u}{2}) M_{X} (S - \frac{T - u}{2}) \\ = \exp ((S + \frac{T - u}{2}) μ + {(S + \frac{T - u}{2})}^{2} \frac{σ^{2}}{2}) \cdot \exp ((S - \frac{T - u}{2}) μ + {(S + \frac{T - u}{2})}^{2} \frac{σ^{2}}{2}) \\ = \exp (S (2 μ) + S^{2} \frac{2 σ^{2}}{2}) \cdot \exp ((T - u)^{2} \frac{σ^{2} / 2}{2}) = M_{X + Y} (S) M_{N (0, σ^{2} / 2)} (T - u) \end{aligned}

$\begin{align} & {}\qquad M_{(M,X-M,Y-M)}(s,t,u) = \mathbb{E}\left( e^{sM+t(X-M)+u(Y-M)} \right) = \mathbb{E}\left( e^{s(X+Y)+t(X-Y)/2 + u(Y-X)/2} \right) \\ \\ \\ & = \mathbb{E}\left(e^{(s+t/2-u/2)X+(s-t/2+u/2)Y} \right) =M_{(X,Y)}\left(s+\frac {t-u}{2},s-\frac {t-u}{2}\right) \\ \\ \\ & = M_X\left(s+\frac {t-u}{2}\right) M_Y\left(s-\frac {t-u}{2}\right) = M_X\left(s+\frac {t-u}{2}\right) M_X\left(s-\frac {t-u}{2}\right) \\ \\ \\ & = \exp\left( \left(s+\frac{t-u}{2}\right)\mu + \left(s+\frac{t-u}{2}\right)^2\frac{\sigma^2}{2} \right)\cdot \exp\left( \left(s-\frac{t-u}{2}\right)\mu + \left(s+\frac{t-u}{2}\right)^2\frac{\sigma^2}{2} \right) \\ \\ & = \exp\left( s(2\mu) + s^2\frac{2\sigma^2}{2} \right)\cdot\exp \left( (t-u)^2\frac{\sigma^2/2}{2} \right) = M_{X+Y}(s) M_{N(0,\sigma^2/2)} (t-u) \end{align}$ Schließen Sie daraus, dass das Ding, mit dem ursprünglich multipliziert wurde

s

$s$ ist unabhängig von dem, womit ursprünglich multipliziert wurde

t - u

$t-u$ . Ersteres ist

X + Y

$X+Y$ . Letzteres ist

(X - Y) / 2

$(X-Y)/2$ . Sie können auch schlussfolgern, dass ersteres als verteilt ist

N (2 μ, 2 σ^{2})

$N(2\mu,2\sigma^2)$ und letzteres als

N (0, σ^{2} / 2)

$N(0,\sigma^2/2)$ .

Erstaunlich einfach. Vielen Dank, ich kann nicht glauben, dass ich das verpasst habe!

Stichprobenmittelwert und -varianz

Rwt

Rwt

Tat

Rwt

Tat

Antworten (1)

Michael Hardy

Rwt

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