Strom durch einen Stromkreis mit einem 8-Widerstand-Setup

Das Folgende ist eine Frage aus einer praktischen GRE-Prüfung in Physik (online auf der ETS-Website zu finden).

Die in der Abbildung gezeigte Schaltung besteht aus acht Widerständen mit je einem Widerstandswert R und einer Batterie mit Klemmenspannung V und vernachlässigbarem Innenwiderstand. Welcher Strom fließt durch die Batterie?

Hier die besagte Figur:

Widerstände

Falls die Abbildung nicht geladen wird, hier ist das Problem von ETS: https://www.ets.org/s/gre/pdf/practice_book_physics.pdf , Seite 54, Problem 68.

Da dies eine GRE-Frage ist, dachte ich, dass es einen kürzeren Ansatz als eine Brute-Force gibt, Kirchoffs Spannungsgesetz um jede Schleife. Ich habe versucht herauszufinden, was eine einfachere Lösung wäre, indem ich Parallel- / Serienwiderstände reduziere, die derzeit nicht auf diese Weise reduziert werden können. Dann habe ich eine Dreieck-Stern-Konvertierung versucht, bei der ich im Grunde jedes geschlossene Quadrat im Diagramm reduziert habe (jedes Quadrat war im Wesentlichen ein Dreieck, weil jedes einen widerstandslosen Draht auf einer der Seiten hatte), aber das eignete sich auch nicht für parallel / Serienreduzierung. Danach fiel mir kein anderer Ansatz mehr ein.

Die richtige Antwort ist 3/2**V/R*, und eine abgekürzte Lösung, die ich gesehen habe, hat jemand anderes online gestellt ( http://physicsworks.files.wordpress.com/2012/09/gr0877_solutions.pdf , Problem 68, wenn Sie bin interessiert) sagte, das Problem als 3 separate 2 R- Widerstände parallel zu behandeln, aber ich bin mir nicht sicher, wie das funktioniert, weil es immer noch die beiden horizontalen Widerstände gibt. Könnte mir jemand entweder erklären, warum dieser Ansatz für das Problem richtig ist, oder einen alternativen Ansatz für das Problem? Danke schön!

Stimmen Sie für die Wiedereröffnung ab. Es war zunächst eine gute Frage, da gefragt wurde, warum wir so tun können, als ob diese beiden Widerstände nicht existieren. Wenn überhaupt, lenkt die Aufforderung an das OP, mehr Aufwand zu zeigen und Ansätze zu beschreiben, die nicht funktionieren, vom Kernproblem hier ab.
Ich (das OP) war nicht derjenige, der dies als Hausaufgabe markiert hat, das war eine Bearbeitung, die jemand anderes durchgeführt hat. Gibt es eine Möglichkeit, ein Veto gegen die Änderungen anderer einzulegen?
Hallo Josua. Wie ich sehe, haben Sie bereits herausgefunden, wie Sie einen Beitrag bearbeiten. Wenn Sie dies noch nicht getan haben, nehmen Sie sich bitte eine Minute Zeit, um die Definition für die Verwendung des Hausaufgaben- Tags und die Phys.SE- Richtlinie für hausaufgabenähnliche Probleme zu lesen.
@Qmechanic, waren meine Änderungen also ausreichend, um meine Frage auf das zu bringen, was sie sein sollte? Und ich sollte auch das Hausaufgaben-Tag wiederherstellen, weil ich versuche, eher den Prozess als die Antwort auf dieses Problem zu verstehen?
@Joshua: Ja, das Hausaufgaben-Tag gilt für diese Frage (v4).

Antworten (3)

Die Spannung an beiden horizontalen Widerständen ist Null, sodass sie aus der Schaltung entfernt werden können, ohne die Lösung zu ändern.

Geben Sie hier die Bildbeschreibung ein

Dies ist am einfachsten zu erkennen, indem einfach die beiden horizontalen Widerstände entfernt werden, und dann ist klar, dass die Knoten, mit denen die horizontalen Widerstände verbunden sind, jeweils die gleiche Spannung haben. Somit fließt nach dem Ohmschen Gesetz kein Strom durch einen der beiden horizontalen Widerstände, da an keinem der Widerstände eine Spannung anliegt.

Mit anderen Worten, es spielt keine Rolle, ob die horizontalen Widerstände vorhanden sind oder nicht, sodass sie entfernt werden können, ohne die Lösung zu ändern.

Sie haben dann 3 identische Pfade mit einem Widerstand von jeweils 2R.

Natürlich werden in einer realen Schaltung die realen Widerstände niemals identisch sein, daher ist diese ideale Lösung nur eine Annäherung.

Wie kann ich sicher sein, dass das Entfernen der Widerstände auf diese Weise ein gültiger Schritt ist und die vorliegende Situation nicht wirklich ändert, bevor wir es beurteilen?
@Joshua, es gibt eine Symmetrie der Schaltung, die auf diesen Zug hindeutet. Wenn Sie das Widerstandsnetzwerk von links nach rechts „umdrehen“, erscheint es unverändert. Dies impliziert, dass die "äußeren" Knotenspannungen der horizontalen Widerstände gleich sein müssen usw. Siehe zum Beispiel: physical.stackexchange.com/q/67310
@Joshua Nur eine Randnotiz, sie könnten sogar kurzgeschlossen werden (ihr R = 0), also haben Sie drei Rs parallel mit insgesamt R / 3 und dann wieder (in Reihe zu ihnen) drei R parallel, insgesamt R /3. Dies führt zu einer Summe von 2/3 R des Gesamtwiderstands.
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Neben der eleganten Lösung von Alfred Centauri gibt es eine Möglichkeit, die Dreieck-Stern-Transformation zu verwenden, um das Problem zu lösen. Dazu gehört, die beiden Sterne, die jeweils aus den beiden äußeren vertikalen und einem angrenzenden horizontalen Widerstand bestehen, in ein Dreieck umzuwandeln. Dies ist immer hilfreich zu wissen, da die Symmetrie möglicherweise nicht vorhanden ist.

Geben Sie hier die Bildbeschreibung ein

Die resultierenden Dreiecke werden in Rot und Blau gezeichnet, und das Widerstandsdreieck wird aus dem Stern erhalten, den es umschließt. Alle resultierenden Widerstände haben denselben Wert

R ' = R R + R R + R R R = 3 R

Danach ist es einfach, den effektiven Widerstand zu erhalten

1 R e F F = 1 3 R + 1 3 R + 1 2 ⋅ 1 1 3 R + 1 3 R + 1 R

was herauskommt als R e F F = 2 3 R damit der Strom ist 3 v / 2 R .

Für alle, die Schwierigkeiten haben, sich zu entscheiden, welche Seiten des Dreiecks (Delta) sie kombinieren sollen, und Fragen wie diese haben: Woher wissen Sie (nachdem Sie 2 Dreiecke oder "Deltas" haben, in diesem Fall anstelle Ihrer T-Netze), wie die Dreiecke in den Rest der Schaltung zu kollabieren, damit sie einer gewöhnlichen Reihen- und/oder Parallelschaltung ähneln?

Die Schlüsselidee scheint zu sein, dass Sie zuerst rechtwinklige Dreiecke kollabieren müssen. Alles andere scheint sich in Schwierigkeiten zu bringen, indem man den äquivalenten Widerstand falsch berechnet.

Die Idee hinter der ersten ist, dass, wenn Sie die Hypotenuse und eine der anderen Seiten kombinieren, Sie sagen können, dass die beiden parallel sind. Die Idee ist, dass, wenn Sie eine gegenüberliegende und eine benachbarte Seite kombinieren, Sie sagen können, dass die beiden in Reihe sind.

Also Widerstände von Delta-Armen von Dreiecken, die T-Netzwerke ersetzt haben ... das sind alles 3R. Die verbleibenden 2 Widerstände, die nicht in Dreiecke umgewandelt werden, sind 1R.

Wenn Sie die Geometrie Ihres Problems neu zeichnen, nachdem Sie Dreiecke in etwa 4 Schritten vereinfacht haben, sollten Sie viele parallele äquivalente Berechnungen haben. Und ich habe nur eine äquivalente Widerstandsberechnung erhalten, die eine Serie war. Am Ende müssen Sie mit Req = 6R/9 enden. Und I lässt sich leicht mit V=IR berechnen.

Strom durch einen Stromkreis mit einem 8-Widerstand-Setup
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