Teilweise Änderung der Dichte

Deine Analyse ist nicht falsch. Beachten Sie, dass die allgemeine Definition des Ausdehnungskoeffizienten lautet$\beta \equiv \frac{1}{V} \frac{dV}{dT}$; also wenn du es so schreibst$\beta \simeq \frac{1}{V} \frac{\Delta V}{\Delta T}$, gehen Sie implizit davon aus, dass die Temperaturschwankung$\Delta T$, und daher$\Delta V/V$ist klein${}^*$.

In diesem Sinne verwenden$\Delta V = \beta V \Delta T$, kann Ihre endgültige Gleichung umgeschrieben werden als:

$$\frac{\Delta \rho}{\rho_0} = - \frac{\beta \Delta T}{1+\Delta{V}/V}$$ Wie bereits erwähnt, ist die Volumenänderung aufgrund der Ausdehnung viel geringer als das Ausgangsvolumen des Objekts$\Delta V/V << 1$, was bedeutet, dass Sie vernachlässigen können$\Delta V/V$im Nenner im Vergleich zu$1$; ergebend: $$\frac{\Delta \rho}{\rho}\simeq-\beta \Delta T$$

* Genauer gesagt aus der Definition von$\beta$wir haben:

$$\frac {dV}{V}=\beta dT$$ So: $$\int_{V_1}^{V_2}\frac {dV}{V}=\int_{T_1}^{T_2}\beta dT$$ Jetzt vorausgesetzt, dass die Temperaturschwankung$\Delta T = T_2 - T_1$ausreichend klein ist, so dass wir die Variationen von vernachlässigen können$\beta$im$[T_1,T_2]$Intervall,$\beta$(Und$V$) kann näherungsweise aus dem Integral herausgezogen werden, woraus sich ergibt: $$\frac{\Delta V}{V} \simeq \beta \Delta T$$ das ist die Formel, die Sie verwendet haben.

Beachten Sie, dass Sie auch die Definition von neu anordnen können$\beta$in Bezug auf die Dichte$\rho=\frac m V$Um diese Annäherung zu erhalten:

$$\beta \equiv \frac{1}{V}\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_{p} = \frac{1}{m / \rho}\left(\frac{\partial (\frac {m}{\rho})}{\partial T}\right)_{p} = \frac {\rho}{m}\left(-\frac{m}{\rho^2}\right)\left(\frac{\partial \rho}{\partial T}\right)_{p}=-\frac{1}{\rho}\left(\frac{\partial \rho}{\partial T}\right)_{p}$$

So

$$\beta \simeq-\frac{1}{\rho} \frac{\Delta \rho}{\Delta T} \implies \frac{\Delta\rho}{\rho}=-\beta\,\Delta{T}$$