Druck-gegen-Volumen-Systemproblem

Ein starrer, luftdichter Behälter mit einem Volumen von 1,5 m 3 ist mit einem Gas der Dichte 8 kg/m gefüllt 3 . Der Behälter verfügt über ein Dichtemessgerät, mit dem wir die Dichteänderungen des Gases im Behälter beobachten können. Im Inneren des Behälters befindet sich ein Gummiball (Beispiel Kugelballon) mit einem anderen Gas. Wir kennen weder die Dichte noch das Volumen der inneren Kugel. Die Membran des Balls ist perfekt isoliert. Kalte Temperatur wird aus der Ferne in die innere Kugel eingespritzt. Während dies geschieht, können wir nach einer Reihe von Messungen mit dem Dichtemessgerät sehen, dass die Dichte mit einer Rate von 0,1 kg/m abfällt 3 /Sek. Wenn das Messgerät stoppt, wissen wir, dass die Dichte in der inneren Kugel 1000 kg/m erreicht hat 3 mit einem Volumen von 5 ∗ 10 − 4 . Wie lange dauert die gesamte Veranstaltung?

Folgendes habe ich bisher ausgearbeitet, bin mir aber nicht sicher, ob ich daneben liege:

Lassen:

  • ρ B , 0 Und ρ B , 1 = 1000 k G / M 3 die Anfangs- bzw. Enddichte der inneren Kugel.

  • ρ C , 0 = 8 k G R / M 3 Und ρ C , 1 die Anfangs- bzw. Enddichte des Außenbehälters.

  • v C = 1.5 M 3 (das Gesamtvolumen im großen Behälter) und v C , 0 Und v C , 1 die Gasvolumina im Großbehälter bzw.

  • v B , 0 Und v B , 1 = 0,0005 M 3 die Anfangs- und Endvolumina in der inneren Kugel.

  • D ρ C D T = 0,1 k G / M 3 / S e C der Vordruck ändert sich im großen Behälter.

Wenn die Innenkugeltemperatur sinkt, nimmt die Dichte zu und das Volumen der Kugel ab. Wenn die innere Kugel schrumpft, erzeugt dies einen Gegendruck (oder Vakuum) im äußeren Gas, wodurch die Dichte des äußeren Gases abfällt, und daher sehen wir, wie die Dichte im Messgerät abfällt.

Hier sind weitere Fakten, von denen ich glaube, dass wir sie kennen:

(1) ρ B , Ö v B , 0 = ρ B , 1 v B , 1
da die Masse konstant wäre.

(2) ρ C , Ö v C , 0 = ρ C , 1 v C , 1

(3) v C , 0 = v C − v B , 0

(4) v C , 1 = v C − v B , 1

Auch die Zunahmerate der inneren Kugel verursacht eine Abnahmerate der äußeren Kugel (nicht sicher, ob es richtig ausgedrückt ist).

(5) D ρ B D T ( v B , 0 − v B , 1 ) = − D ρ C D T ( v C , 1 − v C , 0 )

Ich nehme an, dass hier nur der Endzustand des Systems in Abhängigkeit von zählt, um zu wissen, "wie lange". T . Also muss ich die Ausdrücke irgendwie in den Endzustand bringen.

Wir substituieren nun von (3) und (4) in (5):

(6) D ρ B D T ( ( v C − v C , 0 ) − v B , 1 ) = − D ρ C D T ( v C , 1 − ( v C − v B , 0 ) )

Wir ersetzen nun (1) und (2) und den Wert für die Änderungsrate:

(7) D ρ B D T ( v C − v C , 0 − v B , 1 ) = − 0,1 ( ( ρ C , Ö v C , 0 ρ C , 1 ) − ( v C − ( ρ B , 1 v B , 1 ρ B , 0 ) ) )

(8) D ρ B D T = − 0,1 ( ( ρ C , Ö v C , 0 ρ C , 1 ) − ( v C − ( ρ B , 1 v B , 1 ρ B , 0 ) ) ) ( v C − v C , 0 − v B , 1 )

ρ B , 0 − ρ B , 1 = − 0,1 ∫ 0 T ( ( ρ C , Ö v C , 0 ρ C , 1 ) − ( v C − ( ρ B , 1 v B , 1 ρ B , 0 ) ) ) ( v C − v C , 0 − v B , 1 ) D T

Und hier stecke ich fest. Zunächst einmal bin ich mir nicht sicher, ob ich zu Beginn genügend Informationen hatte, um alle erforderlichen Antworten zu finden. Aber das ist nicht so wichtig. Die wichtigste Frage ist, ob der Ausdruck, den ich bisher habe, richtig ist oder nicht. Irgendetwas sagt mir, dass ich mich in Schwierigkeiten gebracht habe.

Vielen Dank für eventuelle Hilfestellungen.

Antworten (2)

  1. In Ihrer 5. „Let“-Aussage“ D ρ C D T = 0,1 k G / M 3 / S e C der Ratendruck ändert sich im großen Behälter", "Druck" sollte "Dichte" sein und es liegt ein Vorzeichenfehler vor.

  2. Ihre Gleichungen 1-4 sind korrekt, aber es ist wichtig zu bestimmen, was bekannt und was unbekannt ist, und zu analysieren, wie viele unabhängige Gleichungen und Unbekannte Sie haben. Außerdem beträgt die Masse des Gases in der Kugel 0,5 kg.

  3. Sie sollten zu Ihrer Liste von Gleichungen hinzufügen: ρ C , 1 = 8 k G / M 3 − ( T ) 0,1 k G / M 3 / S e C . Dies ist sehr wichtig, weil Sie versuchen, nach Zeit zu lösen. Hier sieht man sofort, dass der Lösungssatz auf Werte zwischen 0 und 80 Sekunden begrenzt ist, da die Dichte nicht negativ sein kann.

  4. Ich sehe keine Grundlage für Ihre Gleichung 5. Stattdessen ist die Änderungsrate des Gasvolumens außerhalb des Balls gleich der negativen Änderungsrate des Ballvolumens.

  5. Im Gleichgewicht wird sich der Druck im Behälter und im Ball nur durch die elastische Kraft des Balls unterscheiden.

Ich danke Ihnen für Ihre Hilfe. Ich warte schon seit geraumer Zeit auf Hilfe zu diesem Thema. Lassen Sie mich sicherstellen, dass ich Ihren Punkt 4 verstehe. D v A D T = − D v B D T ? Wenn die Dichte von A mit abnehmendem Volumen zunimmt und das Volumen von B zunimmt, wodurch die Dichte von B abnimmt, warum dann nicht: D v A D T D ρ A D T = − D v B D T D ρ B D T
"Schlagen Sie vor, \frac {dV_a} {dt} = -\frac {dV_b} {dt}", ja genau (obwohl die Indizes b und c in Bezug auf Ihre ursprüngliche Frage sein sollten), weil das Gesamtvolumen konstant ist ( starrer Behälter).
"warum dann nicht: \frac {dV_a} {dt} \frac {d\rho_a} {dt} = -\frac {dV_b} {dt} \frac {d\rho_b} {dt}" denn das sagt aus, dass die Die Dichten in jedem Behälter ändern sich mit gleichen Raten, was nicht stimmt. Verwenden Sie stattdessen die Tatsache, dass die Masse für jedes der beiden Gase konstant ist, und (Volumen) (Dichte) = (Masse), wenn Sie die Dichteänderungsrate in Bezug auf die Volumenänderungsrate oder Visa auflösen möchten umgekehrt.
Ich habe die Antwort auf der Grundlage der Tipps, die Sie mir gegeben haben, gepostet. Könnten Sie mir bitte sagen, ob es richtig ist? Vielen Dank.
Außerdem bin ich neugierig. Ich weiß, dass das Gesetz von Boyle auf einen der Behälter angewendet werden kann, wenn der Behälter Volumen und Druck ändert: v P = v ' P ' . Wenn jedoch das Gas in beiden Behältern gleich wäre, könnten wir das behaupten v C P C = v B P C ?
Boyles Gesetz ist auf konstante Temperatur beschränkt. Offensichtlich ist die Temperatur in der Kugel nicht konstant. Die Frage besagt nicht, ob die Temperatur im Behälter konstant ist. Die Frage besagt nicht, ob der Container perfekt isoliert ist oder nicht. Das sagt es nur über die Kugelwand. Ihre ursprüngliche Frage besagt, dass Sie feststellen, dass Sie möglicherweise nicht über genügend Informationen verfügen, um das Problem zu lösen, aber Sie möchten nur wissen, ob Ihre Gleichungen korrekt sind. Außerdem ist die endgültige Dichte im Ball die von Wasser, sodass die Situation nicht realistisch ist.

Wir beginnen bei Punkt (5) oben, wo die Dinge schief gelaufen sind:

(5) D v C D T = − D v B D T

(6) D v C D T = M C / ( D ρ C D T ) = − M C 0,1

(7) ∫ v C , 0 v C , 1 D v C = − M C 0,1 ∫ 0 T D T

(8) v C , 1 − v C , 0 = − M C 0,1 T

(9) D v B D T = M B / ( D ρ B D T ) = 0,5 / ( D ρ B D T )

Aus (5), (6) und (9):

(10) − M C 0,1 = − 0,5 / ( D ρ B D T )

(11) ∫ ρ B , 0 ρ B , 1 D ρ B = 20 M C ∫ 0 T D T

(12) ρ B , 1 − ρ B , 0 = 20 M C T

Und schließlich mit:

(13) ρ C , 1 = 8 k G / M 3 − ( T ) 0,1 k G / M 3 / S e C

Wir haben jetzt 3 Ausdrücke als Funktion der Zeit T , nämlich (8), (12), (13). Von hier an sollte es nur noch Algebra sein.

Wie bist du von 5 auf 6 gekommen? Es sieht nach einem Rechenfehler aus. v C = M C / ρ C So D v C D T = − ( M C / ρ C 2 ) ( D ρ C D T )
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