Herleitung der Entropie-Bilanzgleichung mit Ein- und Austritt von Materie durch Konvektion (Massenstrom)

In vielen Büchern der technischen Thermodynamik wird die Entropiegleichgewichtsgleichung geschrieben als

$\frac{dS}{dt}=\Pi_S+I_S$

$I_S=\sum_{j=1}\frac{\dot{Q}_{j}}{T_j}+\sum_{i=1}\dot{m}_is_i-\sum_{e=1}\dot{m}_es_e$

$\frac{dS}{dt}=\Pi_S+\sum_{j=1}\frac{\dot{Q}_{j}}{T_j}+\sum_{i=1}\dot{m}_is_i-\sum_{e=1}\dot{m}_es_e$

Wo der Begriff „$\Pi_S$" stellt die Entropierate dar, die immer positiv oder gleich Null ist,$\Pi_S\ge0$, und der Begriff$I_S$bedeutet den Entropiewechselkurs.$\sum_{i=1}\dot{m}_is_i$,$\sum_{e=1}\dot{m}_es_e$sind die eingehende bzw. ausgehende Entropie aufgrund des Massenflusses. Wo$s_i$,$s_e$sind die intensive Entropie pro Masseneinheit.

Wo kommt die$\sum_{i=1}\dot{m}_is_i-\sum_{e=1}\dot{m}_es_e$komme aus? Wie leitet man es formal ab? Andere Autoren wie Ansermet können das in der Tat ableiten$I_S=\frac{\dot{Q}}{T}$aber nicht die durch Massenströme ausgetauschte Entropie

In dem Buch "Principles of Thermodynamics" von Jean Phillipe Ansermet heißt es, dass die Entropieentwicklung auf makroskopischer Ebene wie folgt beschrieben werden kann:

$\frac{dS}{dt}=\Pi_S+I_S$

Ein paar Seiten zurück sagt der Autor, dass die interne Energieentwicklung für ein System beschrieben werden kann als

$\dot{U}=T\dot{S}-P\dot{V}+\sum_{i=1}^C\mu_i\dot{N_i}=P_Q+P_W+P_C$

Wo$P_Q , P_W, P_C$sind die Wärmeleistung, die mechanische Leistung bzw. die chemische Leistung. Die Wärmekraft$P_Q$ist die gleiche Variable, die$\dot{Q}_j$, So$P_Q=\dot{Q}_j$. Wir können die innere Energieentwicklungsgleichung in Bezug auf umschreiben$\dot{S}$.

$\dot{S}=\frac{1}{T}(P_Q+P_W+P_C+P\dot{V}-\sum_{i=1}^C\mu_i\dot{N_i})$

Entropieaustausch findet statt, wenn Wärmeübertragung vorhanden ist. Aufgrund des oben Gesagten können wir die Gleichung wie folgt umschreiben:

$\dot{S}=\frac{1}{T}(P_W+P_C+P\dot{V}-\sum_{i=1}^C\mu_i\dot{N_i})+\frac{P_Q}{T}$

Wenn der Prozess reversibel ist, gibt es daher keine Entropieproduktion$\Pi_S=0$und es findet kein Entropieaustausch statt$I_S=0$. Dann können wir die reversible Wärme, mechanische Arbeit und chemische Arbeit ableiten

$\frac{1}{T}(P_W+P_C+P\dot{V}-\sum_{i=1}^C\mu_i\dot{N_i})=\Pi_S=0$j$\frac{P_Q}{T}=I_S=0$

$P_W=-P\dot{V}\Rightarrow\delta W=P_Wdt=-PdV\Rightarrow W_{if}=\int_i^f\delta W=-\int_{V_i}^{V_f}PdV$

$P_C=\sum_{i=1}^C\mu_i\dot{N_i}\Rightarrow\delta C=P_Cdt=\sum_{i=1}^C\mu_idN_i\Rightarrow C_{if}=\int_i^f\delta C=\int_{N_{i_i}}^{N_{i_f}}\sum_{i=1}^C\mu_idN_i$

$P_Q=TI_S$

In einem reversiblen Prozess können wir die innere Energiegleichung umschreiben, um einen anderen Ausdruck für zu erhalten$P_Q$

$\dot{U}=T\dot{S}-P\dot{V}+\sum_{i=1}^C\mu_i\dot{N_i}=P_Q+P_W+P_C\Rightarrow T\dot{S}-P\dot{V}+\sum_{i=1}^C\mu_i\dot{N_i}=P_Q-P\dot{V}+\sum_{i=1}^C\mu_i\dot{N_i} \Rightarrow P_Q=T\dot{S}$

$P_Q=T\dot{S}\Rightarrow \delta Q=P_Qdt=TdS\Rightarrow Q_{if}=\int_i^f\delta Q=\int_{S_i}^{S_f}TdS$

Aber Ansermet kann nicht zeigen, woher das kommt$\sum_{i=1}\dot{m}_is_i-\sum_{e=1}\dot{m}_es_e$komme aus.

Auch, wie können wir den Begriff anpassen$\sum_{i=1}\dot{m}_is_i-\sum_{e=1}\dot{m}_es_e$wenn wir die differentielle Form der Entropie nehmen$dS$?