Heißluftballon und Auftrieb

Dies ist eine konzeptionelle Frage in einer Lösung, die ich zu verstehen versuche.

Problemstellung: Ich habe einen Ballon mit einem Volumen von V M 3 . Die Außenlufttemperatur ist K Kelvin und Masse zu heben ist M kg.

Ich soll die Temperatur im Inneren des Ballons finden, um die gegebene Masse kaum zu heben.

Die verwendete Formel ist F B = ρ G v

Lösung:

Ich weiß das, damit der Ballon aufsteigt F B > F G (Index B = Auftrieb und Index G ist Schwerkraft)

Verwenden F B = ρ G v Ich habe versucht, die Unterschiede der beiden Luftdichten zu nehmen und sie gleich der Masse zu setzen, die ich heben muss. Wie hier zu sehen.

( ρ A ich R − ρ B A l l Ö Ö N ) v G = M G

Sorge: Seit ρ v G = F B Ich verstehe dies, da es DREI wirkende Kräfte gibt;

Einer innerhalb des Ballons und einer außerhalb des Ballons (der in der NEGATIVEn y-Richtung ist (ziehen?)) und mg. Ich finde das seltsam, da sich der Ballon nicht bewegt.

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Das Kräftegleichgewicht

Es gibt tatsächlich 3 Beiträge zur Nettokraft. Sie haben die Schwerkraft, die auf die Masse wirkt, die Sie so heben möchten F G , 1 = M G . Sie heben jedoch auch die Luft im Ballon: F G , 2 = M B A l l Ö Ö N G = ρ B A l l Ö Ö N v G . Gleichzeitig drückt die Luftmasse nach unten: F G , 3 = M A ich R G = ρ A ich R v G .

So: ( ρ A ich R − ρ B A l l Ö Ö N ) v G = M G was nachgibt

ρ B A l l Ö Ö N = ρ A ich R − M v

Sie können den Begriff mit dem Unterschied in den Dichten auf zwei Arten interpretieren, Sie können ihn als 1 Kraft betrachten, die für gleiche Dichten zu 0 wird, oder Sie können ihn als 2 Kräfte betrachten, die sich bei gleichen Dichten ausgleichen. Letzteres ist die Standardkonvention, aber ich denke, Ihre Verwirrung ergibt sich aus der ersteren Interpretation.

Die Temperatur in Ihrem Ballon

Ihre Frage hört hier nicht ganz auf, denn jetzt möchten Sie wissen, auf welche Temperatur Sie gehen sollten. Die einfachste Annahme für den Anfang ist die Annahme, dass sich Luft wie ein ideales Gas verhält, was bedeutet:

P M = ρ R T
Wo P ist der Druck, M die Molekülmasse, ρ die Dichte, R die Gaskonstante und T die Temperatur.

Das Gas im Ballon wird erhitzt, kann aber wegen der Öffnung immer noch den Druck mit der Außenluft ausgleichen. Offensichtlich ändern sich die Gaskonstante und die Molekülmasse nicht, sodass wir die Dichte im Ballon als finden können

ρ B A l l Ö Ö N = P M R T B A l l Ö Ö N

Für die Umgebungsluft können wir etwas Ähnliches tun:

ρ A ich R = P M R T A ich R

Unsere Gleichung wird also P M R T B A l l Ö Ö N = P M R T A ich R − M v was für die Temperatur im Ballon umgeschrieben werden kann zu:

T B A l l Ö Ö N = ( 1 T A ich R − M R P v M ) − 1

Diese Gleichung zeigt schön, dass eine Zunahme der zu hebenden Masse ( M ) führt zu einer höheren Temperatur der Luft im Ballon, aber zum Beispiel auch, dass ein höherer Druck (schönes Wetter) zu einer niedrigeren Temperatur führt, die erforderlich ist, um die gleiche Masse an einem Tag mit schlechtem Wetter zu heben.

Dies sind die Baumkräfte in Ihrer Gleichung:

Die Gewichtskraft auf das angehobene Gewicht: M G

Die Gravitationskraft auf den Ballon: M B A l l Ö Ö N G = ρ B A l l Ö Ö N v G

Die Auftriebskraft auf den Ballon: ρ A ich R v G

Damit der Ballon aufsteigt, muss die Summe der ersten beiden gleich oder kleiner als die dritte sein:

M G + ρ B A l l Ö Ö N v G = ρ A ich R v G

Was umgeschrieben werden kann:

M G = ( ρ A ich R − ρ B A l l Ö Ö N ) v G

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