Übergänge im QM

$\newcommand{\ket}[1]{\left| #1\right\rangle}$ $\newcommand{\bra}[1]{\left\langle #1\right|}$Ja, eine Wechselwirkung mit einer elektromagnetischen Strahlung kann die Elektronen dazu bringen, ihr Energieniveau zu ändern. Sie können sich also vorstellen, dass sich das Elektron in einer Überlagerung von Zuständen (Energieniveaus) befindet, die Wechselwirkung mit der Strahlung führt zu einer Übergangswahrscheinlichkeit ungleich Null. Ein Elektron kann immer auf ein niedrigeres Energieniveau fallen, auch wenn es mit keinem Feld interagiert (dies ist das Prinzip der spontanen Emission), aber es kann ohne Wechselwirkung nicht auf ein höheres Energieniveau gelangen.

Hier werde ich einige Motivationen für die Ableitung der Übergangswahrscheinlichkeit vom ersten angeregten Zustand in den Grundzustand in einem nicht-relativistischen Ansatz geben. Wir betrachten einen Übergang zwischen einem Anfangszustand$\ket{i,1}$die wir als den ersten angeregten Zustand und einen Endzustand definieren$\ket{f,0}$was hier der Grundzustand für Vereinfachungen ist. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit können wir das oszillierende elektrische Feld als entlang der x-Richtung verlaufend betrachten, so dass$E(t) = |E_0|cos(\omega t) \hat{e_x}$. Für eine Ladung ist der Wechselwirkungs-Hamilton-Operator gegeben durch$\hat{H_I} = -e\hat{x}|E_0|cos(\omega t)$Wo$\hat{x}$steht für den Positionsoperator. Diese Form des Wechselwirkungs-Hamiltonoperators wird unter Verwendung einer Taylorentwicklung zur nullten Ordnung des elektrischen Dipols hergeleitet und wird als elektrische Dipolnäherung bezeichnet. Wir stellen fest$\hat{H_0}$der Hamiltonoperator für das Atom ohne Wechselwirkung und wir lassen seine Eigenwerte$E_n^{(0)}$von gegeben werden$\hat{H_0}\ket{E_n^{(0)}} = E_n^{(0)}\ket{E_n^{(0)}}$.

Entschuldigung, das ist ziemlich viel mathematisches Durcheinander, nur um einige Notationen zu definieren, aber es enthält kein physikalisches Interesse. Auf geht's! In der zeitabhängigen Störungstheorie erster Ordnung erhält man damit die Übergangswahrscheinlichkeit$\ket{i,1}$Zu$\ket{f, 0}$zum Zeitpunkt$t$wird von gegeben

$$P_{i->f}(t) = \Bigl|\frac{i}{\hbar}\int_{0}^{t}dt'e^{i(E_f^{(0)} - E_i^{(0)})t'/\hbar}\bra{E_f^{(0)}}\hat{H_I}\ket{E_i^{(0)}}\Bigr|^2$$ und nach etwas Algebra in unserem Fall findet man das $$P_{i->f}(t) = \frac{e^2|E_0|^2}{2m\hbar\omega_0}\frac{1}{(\omega - \omega_0)^2}sin^2(\frac{\omega - \omega_0}{2}t)$$ Wo $\omega_0$ist die Frequenz definiert als $\omega_0 = (E_f^{(0)} - E_i^{(0)})/\hbar$und kann als Kreisfrequenz eines harmonischen Oszillators interpretiert werden (da das elektromagnetische Feld in Abwesenheit von Ladung als eine Ansammlung unabhängiger harmonischer Oszillatoren angesehen werden kann).

Um diesem Ergebnis eine Bedeutung zu verleihen, füge ich eine Figur aus dem sehr guten Buch "A Modern Approach to Quantum Mechanics" von Townsend hinzu, wo$\eta$entspricht$\omega - \omega_0$.

Wie Sie sehen können, ist die Übergangswahrscheinlichkeit auf den Wert zentriert$\omega = \omega_0$mit einem schmalen Peak in Abhängigkeit von der Zeit. Der Übergang von einem Zustand in einen anderen kann vernachlässigt werden, außer wenn wir nahe an der Resonanzbedingung sind$\omega \rightarrow \omega_0$.

Um Ihre Fragen zu beantworten: Wenn sich die Frequenz des induzierten elektrischen Felds der Resonanzfrequenz nähert, hat die Übergangswahrscheinlichkeit nicht vernachlässigbare Werte. Dann können Sie sehen, dass sich das Elektron in einer Überlagerung von Zuständen befindet, da die Zustände Wahrscheinlichkeitswerte ungleich Null haben. Wir hätten eine etwas kompliziertere Ableitung für einen Übergang zwischen beliebigen Energieniveaus durchführen können. Wenn in diesem Fall das Elektron in einen höheren Energiezustand übergeht, wird dies als Absorption bezeichnet (weil die für den Übergang benötigte Energie von einem absorbierten Photon stammt), und wenn es in einen niedrigeren Energiezustand übergeht, ist dies die stimulierte Emission. Daher wird die stimulierte Übergangsrate üblicherweise als die Übergangswahrscheinlichkeit pro Zeiteinheit definiert, wenn das Atom mit einem elektromagnetischen Feld wechselwirkt. Ein Elektron kann jedoch auch ohne Wechselwirkung mit einem äußeren Feld in einen niedrigeren Energiezustand springen. Dies wird als spontane Emission bezeichnet und kann auf ziemlich ähnliche Weise abgeleitet werden.

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EDIT: Ich beantworte die Frage, die Sie hier in Kommentaren gestellt haben, um einen langen Text schreiben zu können.

Sie stellen eine sehr interessante Frage und eine vollständige Antwort würde wahrscheinlich die Quantenfeldtheorie erfordern, in der man ein Elektron als geladenes Teilchen sehen kann, das von einer „Wolke“ virtueller Teilchen wie Photonen umgeben ist. Die Wechselwirkungen werden dann als Austausch virtueller Teilchen beschrieben. Auch ohne die QFT-Beschreibung können verschiedene Ansätze verwendet werden, um die Wechselwirkung zwischen dem EM-Feld und einem Atom zu beschreiben.

In einer vollständig quantisierten Theorie (in der das EM-Feld und das Atom quantenmechanisch behandelt werden) gibt es eine Kopplung zwischen den atomaren Übergängen und dem EM-Feld, wie ich es in meiner Antwort zu zeigen versucht habe.

Unter Verwendung einer klassischen Theorie (bei der sowohl das EM-Feld als auch das Atom klassisch behandelt werden) induziert die Wechselwirkung ein oszillierendes Dipolmoment, dessen Frequenz die Absorptionsraten und die stimulierte Emission bestimmt. Diese Oszillation existiert jedoch immer noch (wenn auch anders) in Abwesenheit eines externen Feldes, so dass eine Kopplung zwischen dem anfänglich angeregten Atom und dem Vakuum-EM-Feld besteht. Dann ist auch spontane Emission erlaubt, wie in der vollständig quantisierten Beschreibung. Aus dieser Sicht kann man sagen, dass wenn das Atom anfänglich angeregt wird, es auch ohne EM-Strahlung ein oszillierendes Dipolmoment hat. Das Atom kann somit eine EM-Strahlung erzeugen, wenn es von einem Energieniveau auf ein niedrigeres übergeht.

Ich hoffe, es beantwortet Ihre Fragen. Wenn Sie ein besseres Verständnis wünschen, können Sie die Kapitel 2 und 4 von „ Die Quantentheorie des Lichts “ von R. Loudon lesen. Ich wünsche Ihnen alles Gute mit der Störungstheorie :)

Ja absolut. Alles, was Materie in ihren Wechselwirkungen mit gewöhnlichem thermischem Licht tut, kann aus der Sicht des Lichts verstanden werden, das die Materie in einen Zustand mit oszillierender Ladungsdichte treibt. Die anschließende Absorption oder Streuung des einfallenden Lichts kann korrekt berechnet werden, indem mithilfe der Maxwell-Gleichungen das resultierende em-Feld als Überlagerung des einfallenden Felds plus des neuen Felds berechnet wird, das durch die oszillierende Ladung erzeugt wird.

Das einzige, was an Ihrer Beschreibung falsch ist, ist, dass Sie wirklich nicht davon ausgehen müssen, dass die Wirkung darin bestehen muss, die Materie in einen reinen Eigenzustand zu treiben. Es ist viel normaler, dass die Materie in eine Überlagerung getrieben wird und dann ihre überschüssige Energie zurück in das Feld abstrahlt, ohne jemals das reine Niveau eines angeregten Zustands zu erreichen. Oder sogar notwendigerweise bis zum Grundzustand zurückkehren, bevor sie wieder in eine neue Überlagerung getrieben werden.

Der gesamte Prozess ist rein kontinuierlich und es ist nicht im Geringsten hilfreich, ihn in Bezug auf diskrete Übergänge analysieren zu wollen. Ja, man kann es auch so machen, mit Photonen und Quantensprüngen, und es ist mathematisch korrekt, aber es verschleiert völlig die Physik dessen, was wirklich passiert.

All dies erörtere ich in meinem Blog „ Warum ich Physik hasse “.

EDIT: Natürlich ist es nicht immer ein elektrisches Dipolmoment. Manchmal ist es ein oszillierendes magnetisches Moment, wie in der 21-cm-Linie von Wasserstoff. Und manchmal ist es sogar ein Quadrupolmoment. Diese Übergänge sind natürlich viel schwächer als die elektrischen Dipolübergänge.

HAFTUNGSAUSSCHLUSS: Ich bin ein anerkannter Spinner, dessen Antworten auf dieser Seite routinemäßig und massiv von Leuten abgelehnt werden, die viel mehr wissen als ich.