Umlaufbahn zweier Körper gleicher Masse

Ich weiß, dass sie um einen gemeinsamen Massenmittelpunkt kreisen werden, dh das Baryzentrum. Aber müssen die Geschwindigkeiten gleich groß und entgegengesetzt gerichtet sein (normal zu R, wenn R ihr Abstand voneinander ist), damit die Umlaufbahn stabil ist?

Die Umlaufgeschwindigkeiten müssen nicht sein und sind im Allgemeinen nicht gleich groß. Gleich ist die Winkelgeschwindigkeit , also die Winkelgeschwindigkeit (z. B. in$rad/sec$), dass zwei Körper ihren gemeinsamen Schwerpunkt umkreisen werden. Der Umlaufradius,$r$, Umlaufgeschwindigkeit,$v$, und Winkelgeschwindigkeit,$\omega$, hängen durch die Gleichung zusammen

$$\omega = v/r$$

Beachten Sie, dass dies alles skalare Größen und sind$v$kann als die Komponente des Geschwindigkeitsvektors gedacht werden, die senkrecht zu ist$r$. Da die Erhaltung des Drehimpulses dies impliziert$\omega$für jeden Körper individuell konstant bleiben, dann wissen wir das$v/r$muss auch konstant sein, was bedeutet, dass Körper, die weiter vom Schwerpunkt entfernt kreisen, notwendigerweise schneller kreisen müssen und umgekehrt.

Nun, diese vereinfachende Erklärung funktioniert natürlich für zwei Körper. Sobald Sie mehr als zwei Körper einwerfen, werden die Dinge komplizierter und das Baryzentrum kann sich bewegen, was komplexere Bewegungen verursacht.

Ich denke, wenn die Geschwindigkeit einer Masse in Bezug auf die andere variieren würde, würde dies einen sich bewegenden Schwerpunkt erzeugen, in dem die beiden Massen kollidieren oder eine andere aus der Umlaufbahn werfen würden

Dies ist eine subtil andere Frage. Wenn eine der beiden Massen eine unterschiedliche Umlaufgeschwindigkeit hätte, würde dies bedeuten, dass sie durch einen Mechanismus Energie gewinnt oder verliert. Dies kann durch Dinge wie Gezeitenwechselwirkungen geschehen, wie es bei unserer Erde und unserem Mond der Fall ist. Wie oben erwähnt, muss die Winkelgeschwindigkeit konstant bleiben, was impliziert, dass der Körper, dessen Geschwindigkeit sich ändert, ebenfalls zum Baryzentrum hin oder davon weg wandern muss, was möglicherweise zu einer Kollision oder Flucht führt. Da die Umlaufgeschwindigkeit des Mondes durch Gezeitenwechselwirkungen beschleunigt wird, bewegt er sich dadurch weiter weg. Ein weiteres Beispiel könnten zwei Schwarze Löcher sein, die Gravitationswellen aussenden, wenn sie umkreisen, wodurch sich Energie und damit Umlaufgeschwindigkeiten ausbreiten, wodurch sie näher zusammenrücken, bis sie kollidieren.

Verwenden wir Koordinaten, bei denen der Massenmittelpunkt im Ursprung liegt. In unserem Zwei-Körper-System, in dem die Körper die gleiche Masse haben, liegt der Massenmittelpunkt in der Mitte zwischen den beiden Körpern. So

$$r_a = - r_b$$ Die Bewegung des Massenschwerpunkts ist die gewichtete Summe der Bewegungen der Bestandteile x,
$$v_\text{center} = \sum m_x v_x/ \sum m_x$$ Wenn wir den Massenmittelpunkt für unser Zwei-Körper-System so fixieren, dass er zu jeder Zeit 0 ist, dann haben wir$v_a = -v_b$da die Massen gleich sind. Die Geschwindigkeiten sind zu allen Zeiten entgegengesetzt, aber gleich groß.

Der vorherige Poster wurde möglicherweise durch die Tatsache verwirrt, dass die Geschwindigkeiten der „Sterne“ nicht konstant sind. Im Schwerpunktsystem führen die beiden Körper ihre Bahnen jedoch synchron aus, dh sie erreichen gleichzeitig die Periapsis.