Unsicherheitsausbreitung durch einen doppelt gewichteten Durchschnitt

Question

Unsicherheitsausbreitung durch einen doppelt gewichteten Durchschnitt

Physik
Spektroskopie
Fehleranalyse
Wärmestrahlung

chkrs888.

Ich sammle die Intensität der Strahlung als Funktion der Wellenlänge. Ich möchte diese Daten nehmen und mitteln, damit ich eine durchschnittliche Intensität für ein Spektralband habe. In meinem Durchschnitt möchte ich zwei Faktoren gewichten – die Unsicherheit und einen weiteren Faktor, der von der Planck-Kurve vorgegeben wird, da ich mich mehr um Werte kümmere, die einer hohen Intensität entsprechen.

Ich möchte auch die Unsicherheit schätzen, die mit diesem doppelt gewichteten Durchschnitt verbunden ist, aber ich bin mir nicht sicher, wie ich das machen soll.

Ich habe hier einige Beiträge gesehen, zum Beispiel diesen . Allerdings weiß ich nicht, ob sich der Fehler für diesen Durchschnitt wie dort beschrieben ausbreitet oder ob die zweite Gewichtung die Sache erschwert.

Superschnelle Qualle

Hey, können Sie erklären, was Sie meinen mit: Was ist die Unsicherheit? Und was ist der Faktor, der durch die Planck-Kurve bestimmt wird?

chkrs888.

Was ist die Unsicherheit: Jeder spektrale Datenpunkt ist mit einer Unsicherheit/einem Fehler verbunden, basierend auf der von uns verwendeten Ausrüstung. Ich kenne diese Unsicherheit, aber ich möchte wissen, wie sich diese Unsicherheit durch den gewichteten Durchschnitt ausbreitet. dh ich werde einen Wert für den gewichteten Durchschnitt haben, aber was ist sein Fehler? Planck-Kurvenfaktor: Dies ist wahrscheinlich ein integrierter Bereich, der jedem spektralen Datenpunkt zugeordnet ist (möglicherweise in Bändern zusammengefasst), dividiert durch den gesamten integrierten Bereich, über den ich messe. dh ich werde die Planck-Kurve integrieren, um diese Faktoren zu erhalten. Klärt das auf?

Antworten (1)

Unsicherheitsausbreitung durch einen doppelt gewichteten Durchschnitt

Hey, können Sie erklären, was Sie meinen mit: Was ist die Unsicherheit? Und was ist der Faktor, der durch die Planck-Kurve bestimmt wird?
Was ist die Unsicherheit: Jeder spektrale Datenpunkt ist mit einer Unsicherheit/einem Fehler verbunden, basierend auf der von uns verwendeten Ausrüstung. Ich kenne diese Unsicherheit, aber ich möchte wissen, wie sich diese Unsicherheit durch den gewichteten Durchschnitt ausbreitet. dh ich werde einen Wert für den gewichteten Durchschnitt haben, aber was ist sein Fehler? Planck-Kurvenfaktor: Dies ist wahrscheinlich ein integrierter Bereich, der jedem spektralen Datenpunkt zugeordnet ist (möglicherweise in Bändern zusammengefasst), dividiert durch den gesamten integrierten Bereich, über den ich messe. dh ich werde die Planck-Kurve integrieren, um diese Faktoren zu erhalten. Klärt das auf?

Semioi · Answer 1

Bei einer glatten Funktion sind die Datenpunkte nicht (!) statistisch unabhängig. Stattdessen sind benachbarte Datenpunkte ähnlich und daher korreliert. Das verkompliziert die Sache mathematisch. Eine Möglichkeit, dieses Problem anzugehen, könnte daher wie folgt aussehen:

Berechnen Sie zunächst die Korrelationslänge des Datensatzes. Angenommen, Sie finden heraus, dass die Korrelationslänge ist $r$ .
Betrachten Sie jetzt nur alle $r^{th}$ Datenpunkt. Verwenden Sie daher die einfache Formel $\begin{aligned} j & = \frac{\sum_{ich = 1}^{N} w_{ich} X_{ich}}{\sum_{ich = 1}^{N} w_{ich}} = \frac{1}{N \bar{w}} \sum_{ich = 1}^{N} w_{ich} X_{ich} Wo w_{ich} sind die Gewichte \\ \Rightarrow σ_{j}^{2} & \approx \sum_{ich = 1}^{N} {(\frac{\partial j}{\partial X_{ich}})}^{2} σ_{X_{ich}}^{2} = \frac{1}{(N \bar{w})^{2}} \sum_{ich = 1}^{N} w_{ich}^{2} σ_{X_{ich}}^{2} \end{aligned}$ $\begin{align} y &= \frac{\sum_{i=1}^N w_i x_{i}}{\sum_{i=1}^N w_i} = \frac{1}{N \bar{w}}\sum_{i=1}^N w_i x_{i} ~~~\textrm{where $w_i$ are the weights} \\ \Rightarrow \sigma_y^2 &\approx \sum_{i=1}^N \left( \frac{\partial y}{\partial x_{i}} \right)^2 \sigma_{x_{i}}^2 = \frac{1}{(N \bar{w})^2} \sum_{i=1}^N w_i^2 \sigma_{x_{i}}^2 \end{align}$ Mathematische Details : Ich habe den Datensatz implizit ersetzt $\{x_i\}$ von $x_{1+i\cdot r}$ . Somit nahm ich nur jeden $r^{th}$ Datenpunkt.

Die beschriebene Reduzierung des Datensatzes ist unbefriedigend, da wir nicht die im Datensatz enthaltenen Informationen vollständig nutzen. Daher könnten Sie daran interessiert sein, die mathematisch korrektere Formel zu verwenden

σ_{j}^{2} \approx \sum_{ich = 1}^{N} {(\frac{\partial j}{\partial X_{ich}})}^{2} σ_{X_{ich}}^{2} + 2 \sum_{ich = 1}^{N - 1} \sum_{J = ich + 1}^{N} \frac{\partial j}{\partial X_{ich}} \frac{\partial j}{\partial X_{J}} C Ö v [X_{ich}, X_{J}]

$\sigma_y^2 \approx \sum_{i=1}^N \left( \frac{\partial y}{\partial x_{i}} \right)^2 \sigma_{x_{i}}^2 + 2 \sum_{i = 1}^{N-1} \sum_{j = i+1}^{N} \frac{\partial y}{\partial x_{i}} \frac{\partial y}{\partial x_{j}} Cov[x_i, x_j]$ Hier haben wir den zweiten Term der Taylorentwicklung eingeschlossen, wo

C o v [x_{i}, x_{j}]

$Cov[x_i, x_j]$ bezeichnet die Kovarianz zwischen

x_{i}

$x_i$ Und

x_{j}

$x_j$ .

Danke für die Antwort. Ich bin überrascht, dass die Gewichte aus Gründen der Unsicherheit in keiner der Gleichungen erscheinen. Ich hätte zum Beispiel erwartet, dass, wenn Sie einen Punkt in einem Datensatz mehr gewichten, sein Fehler mehr zur Unsicherheit des Durchschnitts beitragen würde.
Vielleicht hast du meine Formel übersehen. Ich habe es deutlicher geschrieben.

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