Vereinfachung der Knotenanalyse-Algebra

Question

Vereinfachung der Knotenanalyse-Algebra

Nick

Ich mache Teil a dieser Hausaufgabe: Geben Sie hier die Bildbeschreibung ein

Führen Sie eine Knotenanalyse von zwei Operationsverstärkern durch und kamen Sie zu diesen beiden Gleichungen:

\frac{v_{1} - v_{R e F}}{R_{2}} + \frac{v_{1} - v_{X}}{R_{1}} + \frac{v_{1} - v_{2}}{R_{F}} = 0

$\frac{V_1-V_{ref}}{R_2} + \frac{V_1-V_{x}}{R_1} + \frac{V_1-V_{2}}{R_f} = 0$

\frac{v_{2} - v_{X}}{R_{3}} + \frac{v_{2} - v_{1}}{R_{F}} + \frac{v_{2} - v_{Ö u T}}{R_{4}} = 0

$\frac{V_2-V_{x}}{R_3} + \frac{V_2-V_{1}}{R_f} + \frac{V_2-V_{out}}{R_4} = 0$

w H e R e : R_{3} = R_{1} A N D R_{2} = R_{4}

$where: R_3 = R_1 and R_2 = R_4$ Ich versuche, diese beiden Gleichungen einfach niederzuschreiben und in diese Form zu bringen:

v_{Ö u T} = A_{D} (v_{2} - v_{1}) + v_{C Ö N S T}

$V_{out} = A_d(V_2-V_1)+V_{const}$

Ich vereinfachte nach unten, um zu bekommen

v_{X} = R_{1} (\frac{v_{1} - v_{R e F}}{R_{2}} + \frac{v_{1} - v_{2}}{R_{F}}) + v_{1}

$V_x = R_1(\frac{v_1-V_{ref}}{R_2} + \frac{V_1-V_2}{R_f}) + V_1$

v_{Ö} u T = R_{4} (\frac{v_{2} - v_{X}}{R_{3}} + \frac{v_{2} - v_{1}}{R_{F}}) + v_{2}

$V_out = R_4(\frac{V_2-V_x}{R_3} + \frac{V_2-V_1}{R_f}) + V_2$

Also versuche ich, Vx in Vout einzustecken und bekomme dieses Monster:

v_{Ö} u T = R_{4} (\frac{v_{2} - [R_{1} (\frac{v_{1} - v_{R e F}}{R_{2}} + \frac{v_{1} - v_{2}}{R_{F}} + v_{1})]}{R_{3}} + \frac{v_{2} - v_{1}}{R_{F}}) + v_{2}

$V_out = R_4(\frac{V_2-[R_1(\frac{v_1-V_{ref}}{R_2} + \frac{V_1-V_2}{R_f} + V_1)]}{R_3} + \frac{V_2-V_1}{R_f}) + V_2$ und versuchen Sie dann, mit R3 = R1 und R2 = R4 zu vereinfachen, aber kommen Sie nirgendwo hin.

Irgendwelche Hinweise, wie man diese Schaltung auf die erforderliche Form vereinfacht?

Antworten (2)

Vereinfachung der Knotenanalyse-Algebra

Jancovici · Answer 1

Was ich empfehle, ist, vor dem Einstecken einen gemeinsamen Nenner zu finden, wie folgt:

Knoten A

\frac{v_{1} - v_{R e F}}{R_{2}} + \frac{v_{1} - v_{X}}{R_{1}} + \frac{v_{1} - v_{2}}{R_{F}} = 0

$\frac{V_1-V_{ref}}{R_2} + \frac{V_1-V_{x}}{R_1} + \frac{V_1-V_{2}}{R_f} = 0$

v_{1} (R_{1} R_{2} + R_{1} R_{F} + R_{2} R_{F}) - v_{2} R_{1} R_{2} - v_{X} (R_{F} R_{2}) + v_{R e F} R_{F} R_{1} = 0

$V_1(R_1R_2 + R_1R_f + R_2R_f) - V_2R_1R_2 - V_x(R_fR_2) + V_{ref}R_fR_1 = 0$

v_{X} (R_{F} R_{2}) = v_{1} (R_{1} R_{2} + R_{1} R_{F} + R_{2} R_{F}) - v_{2} R_{1} R_{2} + v_{R e F} R_{F} R_{1}

$V_x(R_fR_2) = V_1(R_1R_2 + R_1R_f + R_2R_f) - V_2R_1R_2 + V_{ref}R_fR_1$

Knoten B

\frac{v_{2} - v_{X}}{R_{3}} + \frac{v_{2} - v_{1}}{R_{F}} + \frac{v_{2} - v_{Ö u T}}{R_{4}} = 0

$\frac{V_2-V_{x}}{R_3} + \frac{V_2-V_{1}}{R_f} + \frac{V_2-V_{out}}{R_4} = 0$

v_{2} (R_{3} R_{4} + R_{4} R_{F} + R_{3} R_{F}) - v_{1} R_{3} R_{4} - v_{X} (R_{F} R_{4}) + v_{Ö} R_{F} R_{3} = 0

$V_2(R_3R_4 + R_4R_f + R_3R_f) - V_1R_3R_4 - V_x(R_fR_4) + V_oR_fR_3 = 0$

v_{X} (R_{F} R_{4}) = v_{2} (R_{3} R_{4} + R_{4} R_{F} + R_{3} R_{F}) - v_{1} R_{3} R_{4} + v_{Ö} R_{F} R_{3}

$V_x(R_fR_4) = V_2(R_3R_4 + R_4R_f + R_3R_f) - V_1R_3R_4 + V_oR_fR_3$

seit

R_{4} = R_{2} A N D R_{3} = R_{1}

$R_4=R_2 \space and \space R_3=R_1$

= v_{X} (R_{F} R_{2}) = v_{2} (R_{1} R_{2} + R_{2} R_{F} + R_{1} R_{F}) - v_{1} R_{1} R_{2} + v_{Ö} R_{F} R_{1}

$= V_x(R_fR_2) = V_2(R_1R_2 + R_2R_f + R_1R_f) - V_1R_1R_2 + V_oR_fR_1$

Dann einstecken:

v_{1} (R_{1} R_{2} + R_{1} R_{F} + R_{2} R_{F}) - v_{2} R_{1} R_{2} + v_{R e F} R_{F} R_{1} = v_{2} (R_{1} R_{2} + R_{2} R_{F} + R_{1} R_{F}) - v_{1} R_{1} R_{2} + v_{Ö} R_{F} R_{1}

$V_1(R_1R_2 + R_1R_f + R_2R_f) - V_2R_1R_2 + V_{ref}R_fR_1 = V_2(R_1R_2 + R_2R_f + R_1R_f) - V_1R_1R_2 + V_oR_fR_1$

v_{Ö} R_{F} R_{1} = v_{1} (R_{1} R_{2} + R_{1} R_{F} + R_{2} R_{F}) + v_{1} R_{1} R_{2} - v_{2} (R_{1} R_{2} + R_{2} R_{F} + R_{1} R_{F}) - v_{2} R_{1} R_{2} + v_{R e F} R_{F} R_{1}

$V_oR_fR_1 = V_1(R_1R_2 + R_1R_f + R_2R_f) + V_1R_1R_2 - V_2(R_1R_2 + R_2R_f + R_1R_f) - V_2R_1R_2 + V_{ref}R_fR_1$ Ich bin sicher, Sie können den Rest herausfinden.

Alfred Centauri · Answer 2

Lösen Sie für die Knoten A-Gleichung auf $v_x$

$v_x = (1 + \dfrac{R_1}{R_2||R_F})v_1 - (\dfrac{R_1}{R_2}V_{REF} + \dfrac{R_1}{R_F}v_2)$

Lösen Sie für die Knoten-B-Gleichung nach auf $v_{out}$

$v_{out} = (1 + \dfrac{R_4}{R_3||R_F})v_2 - (\dfrac{R_4}{R_3}v_x + \dfrac{R_4}{R_F}v_1)$

Kannst du es von hier nehmen?

(Übrigens habe ich die obigen Gleichungen durch Inspektion mit Superposition geschrieben, nicht durch Lösen Ihrer Knotengleichungen).

Vereinfachung der Knotenanalyse-Algebra

Nick

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Jancovici

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